[SDOI2010]代码拍卖会

题目描述

随着iPig在P++语言上的造诣日益提升，他形成了自己一套完整的代码库。猪王国想参加POI的童鞋们都争先恐后问iPig索要代码库。iPig不想把代码库给所有想要的小猪，只想给其中的一部分既关系好又肯出钱的小猪，于是他决定举行了一个超大型拍卖会。

在拍卖会上，所有的N头小猪将会按照和iPig的好感度从低到高，从左到右地在iPig面前站成一排。每个小猪身上都有9猪币（与人民币汇率不 明），从最左边开始，每个小猪依次举起一块牌子，上面写上想付出的买代码库的猪币数量（1到9之间的一个整数）。大家都知道，如果自己付的钱比左边的猪 少，肯定得不到梦寐以求的代码库，因此从第二只起，每只猪出的钱都大于等于左边猪出的价钱。最终出的钱最多的小猪（们）会得到iPig的代码库真传，向着 保送PKU（Pig Kingdom University）的梦想前进。

iPig对自己想到的这个点子感到十分满意，在去现场的路上，iPig就在想象拍卖会上会出现的场景，例如一共会出现多少种出价情况之类的问题，但 这些问题都太简单了，iPig早已不敢兴趣了，他想要去研究更加困难的问题。iPig发现如果他从台上往下看，所有小猪举的牌子从左到右将会正好构成一个 N位的整数，他现在想要挑战的问题是所有可能构成的整数中能正好被P整除的有多少个。由于答案过大，他只想要知道答案mod 999911659就行了。

输入输出格式

输入格式：

输入文件auction.in有且仅有一行：两个数N（1≤N≤10^18）、P(1≤P≤500)，用一个空格分开。

输出格式：

输入文件auction.out有且仅有一行：一个数，表示答案除以999911659的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

15

说明

样例解释

方案可以是：12 15 18 24 27 33 36 39 45 48 57 66 69 78 99，共15种。

数据规模

给定N,P，有一个数A是N位数，并且A的每一位不减(如11234)并且不超过9，求能被P整除的数有多少个。

分 析：首先我们注意到N非常大，O(N)绝对不能接受，但是P只有500，而且A这个数有非常奇妙的性质：由于A的每一位不减，所以可以将A拆成 0,1,11,111,1111,11111……中取九个的和(如11234=11111+111+11+1+0+0+0+0+0)，这样一来，由于 11…111 mod P会出现循环，就可以将N从复杂度中消去，记Cnt[i]表示0,1,11……中mod P 为i的个数(0 <= I < P)，题目就变成了从Cnt[i]中取九个使下标之和被P整除；

于是可以容易的想到动态规划，F[i][j][k]表示做到Cnt[i],当前取了k个，k个的和mod P为j，转移方程就是

F[i + 1][(j + l * i) % P][k + l] = (F[i][j][k] * Calc(l, Cnt[i]) + F[i + 1][(j + l * i) % P][k + l]) % mod;(枚举l)

其中Calc(l, Cnt[i])表示Cnt[i]中无差别的取出l个(可以重复)的方案数，根据排列组合的定理可知Calc(A, B) = C(A+B-1,A) 

复杂度：O(P*P*9*9)

记得最后的数还要加上111...11(n个1).因为在DP的时候这个数是可以有前导0的。

转载自http://trinklee.blog.163.com/blog/static/238158060201551422646803/

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 lol Mod=,ans;
 lol n,p,cnt[],beg,len,pos[],A[],c[][],f[][][],a;
 int main()
 {lol i,j,k,l;
   cin>>n>>p;
   lol sum=;
   if (n<=p)
     {
       for (i=;i<=n;i++)
     {
       sum=sum*+;
       sum%=p;
       cnt[sum]++;
     }
       a=sum;
     }
      else
      {
        for (i=;i<=p+;i++)
      {
        sum=sum*+;
        sum%=p;
        if (cnt[sum])
          {
            beg=pos[sum];
            len=i-pos[sum];
            break;
          }
        cnt[sum]++;
        pos[sum]=i;
      }
        for (i=;i<p;i++)
      if (cnt[i]&&pos[i]>=beg)
        {
          cnt[i]=(n-beg+)/len;
          if (pos[i]-beg+<=(n-beg+)%len) cnt[i]++;
          if ((pos[i]-beg+)%len==(n-beg+)%len) a=i;
        }
      }
   A[]=;
   for (i=;i<=;i++)
     A[i]=(Mod-Mod/i)*A[Mod%i]%Mod;
    for (i=;i<p;i++)
     {
       c[i][]=;
       if (cnt[i])
       for (j=;j<=;j++)
     {
       c[i][j]=(cnt[i]*c[i][j-]%Mod)*A[j]%Mod;
         cnt[i]++;cnt[i]%=Mod;
     }
     }
    f[][a][]=;
   for (i=;i<p;i++)
     {
       for (j=;j<p;j++)
     {
       for (k=;k<;k++)
         {
           for (l=;l<=k;l++)
         {
           f[i+][j][k]+=f[i][(j-(l*i%p)+p)%p][k-l]*c[i][l]%Mod;
           f[i+][j][k]%=Mod;
           //cout<<i+1<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l<<' '<<f[i+1][j][k]<<endl;
         }
         }
     }
     }
   for (i=;i<=;i++)
     ans+=f[p][][i],ans%=Mod;
   cout<<ans;
 }