hdu5666 BestCoder Round #80

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问题描述

\ \ \ \    Rivendell非常神,喜欢研究奇怪的问题.

\ \ \ \    今天他发现了一个有趣的问题.找到一条线段x+y=qx+y=q,令它和坐标轴在第一象限围成了一个三角形,然后画线连接了坐标原点和线段上坐标为整数的格点.

\ \ \ \    请你找一找有多少点在三角形的内部且不是线段上的点,并将这个个数对PP取模后告诉他.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.

\ \ \ \    接下来每一行两个数qq,PP,意义如题目中所示.

\ \ \ \ q    q是质数且q\le 10^{18},1\le P\le 10^{18},1\le T \le 10q≤10​18​​,1≤P≤10​18​​,1≤T≤10.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据,输出点的个数模PP后的值.

输入样例

1
2 107

输出样例

0

官方解：

考虑一条以(0,0)(0,0)为起点,(x,y)(x,y)为终点的线段上格点的个数（不包含端点时）,一定是gcd(x,y)-1gcd(x,y)−1,这个很显然吧.

然后整个网格图范围内的格点数目是\frac
{q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

所以答案就是\frac
{q*(q-1)} 2 -​2​​q∗(q−1)​​− 所有线段上的格点的个数.

因为gcd(a,b)=gcd(a,b-a)\
(b>a)gcd(a,b)=gcd(a,b−a) (b>a),所以gcd(x,y)=gcd(x,p-x)=gcd(x,p)gcd(x,y)=gcd(x,p−x)=gcd(x,p),p是质数,所以gcd(x,y)=1gcd(x,y)=1,所以线段上都没有格点,所以答案就是\frac
{q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

因为数据比较大，所以用的java.当然也可以考虑按位乘

import java.io.BufferedInputStream;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        Scanner cin = new Scanner (new BufferedInputStream(System.in));
        int T;
        BigInteger c; BigInteger d;
        T = cin.nextInt();
        while(T > 0){
        c = cin.nextBigInteger();
        d = cin.nextBigInteger();
        BigInteger a = c.subtract(BigInteger.valueOf(2));
        if(a.equals(BigInteger.valueOf(0)))
        {
            System.out.println(0);
        }
        else{
        c = a.add(BigInteger.valueOf(1));
       //system.out.println(c);
        a = c.multiply(a);
        //System.out.println(a);
        a = a.divide(BigInteger.valueOf(2));
        a = a.remainder(d);
        System.out.println(a);
        }
        T--;
    }
    }
}