BZOJ 3243 Clever Y

Description

Little Y finds there is a very interesting formula in mathematics:

X^Y mod Z = K

Given X, Y, Z, we all know how to figure out K fast. However, given X, Z, K, could you figure out Y fast?

Input

Input data consists of no more than 20 test cases. For each test case, there would be only one line containing 3 integers X, Z, K (0 ≤ X, Z, K ≤ 10⁹). 
Input file ends with 3 zeros separated by spaces. 

Output

For each test case output one line. Write "No Solution" (without quotes) if you cannot find a feasible Y (0 ≤ Y < Z). Otherwise output the minimum Y you find.

Sample Input

5 58 33
2 4 3
0 0 0

Sample Output

9
No Solution

转载自：Navi

当模数 $c$ 不是质数的时候，显然不能直接使用 $BSGS$ 了，考虑它的扩展算法。

前提：同余性质。

令 $d = gcd(a, c)$ ， $A = a \cdot d,B = b \cdot d, C = c \cdot d$

则 $a \cdot d \equiv b \cdot d \pmod{c \cdot d}$

等价于 $a \equiv b \pmod{c}$

因此我们可以先消除因子。

对于现在的问题 $(A \cdot d)^x \equiv B \cdot d \pmod{C \cdot d}$ 当我们提出 $d = gcd(a, c)$ （$d \neq 1$）后，原式化为 $A \cdot (A \cdot d)^{x-1} \equiv B \pmod{C}$ 。

即求 $D \cdot A^{x-cnt} \equiv B \pmod{C}$ ，令 $x = i \cdot r-j+cnt$ 。之后的做法就和 $BSGS$ 一样了。

值得注意的是因为这样求出来的解 $x \geq cnt$ 的，但有可能存在解 $x < cnt$ ，所以一开始需要特判。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 int MOD=;
 lol hash[],id[];
 lol gcd(lol a,lol b)
 {
   if (!b) return a;
   return gcd(b,a%b);
 }
 void insert(lol x,lol d)
 {
   lol pos=x%MOD;
   while ()
     {
       if (hash[pos]==-||hash[pos]==x)
     {
       hash[pos]=x;
       id[pos]=d;
       return;
     }
       pos++;
       if (pos>=MOD) pos-=MOD;
     }
 }
 bool count(lol x)
 {
   lol pos=x%MOD;
   while ()
     {
       if (hash[pos]==-) return ;
       if (hash[pos]==x) return ;
       pos++;
       if (pos>=MOD) pos-=MOD;
     }
 }
 lol query(lol x)
 {
   lol pos=x%MOD;
   while ()
     {
       if (hash[pos]==x) return id[pos];
       pos++;
       if (pos>=MOD) pos-=MOD;
     }
 }
 lol qpow(lol x,lol y,lol Mod)
 {
   lol res=;
   while (y)
     {
       if (y&) res=res*x%Mod;
       x=x*x%Mod;
       y>>=;
     }
   return res;
 }
 lol exBSGS(lol a,lol b,lol Mod)
 {lol i;
   if (b==) return ;
   memset(hash,-,sizeof(hash));
   memset(id,,sizeof(id));
   lol cnt=,d=,t;
   while ((t=gcd(a,Mod))!=)
     {
       if (b%t) return -;
       cnt++;
       b/=t;Mod/=t;
       d=d*(a/t)%Mod;
       if (d==b) return cnt;
     }
     lol tim=ceil(sqrt((double)Mod));
       lol tmp=b%Mod;
   for (i=;i<=tim;i++)
     {
       insert(tmp,i);
       tmp=tmp*a%Mod;
     }
   t=tmp=qpow(a,tim,Mod);
   tmp=tmp*d%Mod;
   for (i=;i<=tim;i++)
     {
       if (count(tmp))
     return i*tim-query(tmp)+cnt;
       tmp=tmp*t%Mod;
     }
   return -;
 }
 int main()
 {lol p,a,b,ans;
   while (scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b))
     {
       if (p==) return ;
       if ((ans=exBSGS(a,b,p))==-) printf("No Solution\n");
       else printf("%lld\n",ans);
     }
 }