扩展kmp——原创

扩展kmp                 LRH

所谓扩展kmp指的是与kmp相似的求辅助数组的原理，但是本身与kmp关系不大。

1.exkmp的用途：给定一个主串s和一个子串t，求出s中每一个后缀和子串t的最长公共前缀。

2.算法推导：

给定一个主串：S=aaaaaaaaaabaaa

 T=aaaaaaaaaaa

（下标都是从零开始！！！）

                 第一步

需要有两个辅助数组：extand[i]和next[i]；

extand[i]：表示主串S以i开始的后缀与子串T的最长公共前缀。

next[i]：表示子串T中以i开始的后缀与子串本身的最长公共前缀。

首先看这个样例，很显然extend[1]=10。然后要求extend[2]。如果暴力求的话还要再用每个字符比较一遍太过麻烦。那么已经求得的extend[1]是不是可以利用呢？

通过求得的extend[1]我们已经知道了：S[1...10]=T[1…10](不知道为什么的看定义去)。那么S[2..10]=T[2…10]。再算extend[2]时很明显extand[1]是没有用的，所以要从S[2]匹配。于是我们就要再引入一个数组next[i]。根据定义：

因为next[2]=9；

所以T[2…11]=T[1…10]；

所以T[2…10]=T[1…9](都删去一个字符)

所以T[1…9]=S[2…10]

所以extand[2]就等于9啊！！！多么神奇啊！

第二步

求完extand[2]后就可以知道这种求法原理是一种递推的。那么下面我们抛开特殊来看一般

我们假设extand[1…k]已经求好(就像刚刚那个extand[1]已经求好一样)。并且，在以前匹配过程中在S当中所匹配到的最远位置是p。那么这个最远的位置是不是就是i+extand[i]-1？（当前位置+匹配长度-1=匹配到的末端位置），其中i=1…k。不妨取这个最远的位置所对应的i是a，很显然这个a是比p要小的。那么根据定义就可以推出           S[a…p]=T[1…p-a+1];

所以 S[k+1…p]=T[k+a+2…p-a+1](都删去一段字符)

我们再定义一个L，另L= extand[k-a+2]（注意：这是定义的，不要老是纠结他究竟是为了什么，不然会很痛苦！！！这个会用到的。）

那么根据L就可以推导出：T[1…L]=T[k-a+2…k+L-a+1]

相信看到这里大多数人都已经懵逼了，那我们还是先回想一下next数组的定义，然后画个图就能懂了：

是不是已经懂了？这是next数组的一个性质，前面在推extand[2]的时候应经用了。

第三步

现在就出现了两种情况：

（一） k+L<p

图中红色的区域一定是相等的，即S[k+1…k+1+L]=T[1…L]

因为前面已经推导过T[1…L]=T[k-a+2…k+L-a+1]（1）

并且S[k+1…p]=T[k+a+2…p-a+1]（2）   p>k+L

所以（1）式的右端点在（2）式右端点的左边。

所以 多出来的那块=(p-a+1)-(k+L-a+1)

再用p-[(p-a+1)-(k+L-a+1)]+1=k+L+1!

所以就推出了S[k+1…k+L+1]=T[1…L]。

那么就可以知道蓝色的部分一定不会相等（因为L=extend[k-a+2]呀，如果相等的话那extend[k-a+2]不就等于L+1甚至更大了吗？）

为什么k+L不能=p？  因为小于p时p之前一定存在一个字符与T[L+1]不匹配（图中蓝色区域）。如果等于p，那就无法判断下一位是否不匹配了。

所以我们就得出了extend[k+1]=L，就求出来了！

（二） k+L>=p

明白了第一种，这种情况就比较通俗易懂啦！

上图的紫色部分是未知的，红色部分是已经匹配的。因为在计算extend[1…k]时达到的最远位置是p，所以p之后的的位置无法访问。那怎么办？问我？？这还用说：暴力求啊！

从S[p+1]和T[p-k+1]开始匹配不就完啦？之后更新extend[a]+a和extend[k+1]+k+1的大小，后者的就更新最远位置p然后，，，就没有然后了！！！！

那么next数组怎么求呢？其实next数组就是一个以T为主串，T为字串的一个特殊的扩展kmp！用上文介绍的相同算法计算next数组即可。

唉！这就完了。写了整整一个晚上，因为下午刚学，连推公式带迷茫的痛苦了三个小时，终于完成了再附一个代码：

Return 0！！！！！