bzoj5461 Minimax 题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5461

看到题目，必将m种权值离散化。

首先是一个显然的dp设计。

设$f(i,j)$表示第i个节点，最终取值为j（已离散化）的概率。

因为树上的节点儿子数不超过2，不妨设值k出现在左儿子上。

则有$f(x,k)=f(ls,k)*(pmx_x*\sum \limits_{j=1}^{k-1}f(rs,j)+pmn_x*\sum \limits_{j=k+1}^{m}f(rs,j))$

初态是$f(leaf,val[leaf])=1$，答案直接对$f(1)$统计即可。

从实际含义上理解，正确性是显然的。

所以dp前预处理前缀和，可以做到$O(n^2)$。

因为树上情况比较特殊，加上保证只有不超过两个儿子，并不自然地想到了线段树合并。

如果是叶子，插入权值为1的节点。

否则进行两个儿子的线段树合并。

在线段树合并的同时，维护两棵线段树当前子树的前缀后缀和。

如果递归到其中一棵树为空，给另一棵树打上乘一个值的标记就可以了。

最后$dfs(root[1])$统计答案。

该题复杂度为$O(mlogn)$，

证明：

线段树合并复杂度等于$merge$函数调用次数。

$merge$函数调用一次，除非遇到（线段树上的）叶子节点，必定销毁一个节点。

并且，线段树是二叉树，

也就是说遇到的（线段树上的）叶子节点个数不会多于销毁的节点个数。

只在遇到（题中树上的）叶子节点时插入了$mlogn$个节点，故得证。