洛谷 P3998 [SHOI2013]发微博

题目描述

刚开通的 SH 微博共有n个用户（1Ln标号），在这短短一个月的时间内，

用户们活动频繁，共有m 条按时间顺序的记录：

! x 表示用户x发了一条微博；

+ x y 表示用户x和用户y成为了好友

− x y 表示用户x和用户y解除了好友关系

当一个用户发微博的时候，所有他的好友（直接关系）都会看到他的消息。

假设最开始所有人之间都不是好友关系，记录也都是合法的（即+ x y时x和

y一定不是好友，而− x y时x和y一定是好友）。

问这 m 条记录发生之后，每个用户分别看到了多少条消息。

输入格式

第 1行 2个整数n,m。

接下来m 行，按时间顺序读入m 条记录，每条记录的格式如题目所述，用

空格隔开。

输出格式

输出一行 n 个用空格隔开的数（行末无空格），第i 个数表示用户i 最后看到

了几条消息。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

n<=200000

m<=500000

题解：

2019双十模拟赛（蒟蒻正在文化课月考的考场上瑟瑟发抖）

后来7哥@littleseven带我做了这道题...

当时只想出了50分的暴力思路，非常容易想，就是开一个数组$f[i] [j]$（开bool数组，可以节约一些空间，让其能开到$10^8$），表示$i$，$j$是不是朋友。然后每次有人发消息，就把它的所有朋友的答案$+1$。

50pts代码如下：

#include<cstdio>

#include<iostream>

using namespace std;

int n,m;

bool f[10000][10000];

int ans[10000];

int main()

{

    // freopen("qq.in","r",stdin);

    // freopen("qq.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        int x,y;

        char ch;

        cin>>ch;

        if(ch=='+')

        {

            scanf("%d%d",&x,&y);

            f[x][y]=1,f[y][x]=1;

        }

        else if(ch=='-')

        {

            scanf("%d%d",&x,&y);

            f[x][y]=0,f[y][x]=0;

        }

        else

        {

            scanf("%d",&x);

            for(int j=1;j<=n;j++)

                if(f[x][j])

                    ans[j]++;

        }

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%d ",ans[i]);

    return 0;

}

然后介绍一下正解。

其实我上面的暴力思路如果再深入一下也就是正解了，思路都是：记录朋友，累加答案。那么，为什么上面的代码叫暴力，下面的代码叫正解，就是因为复杂度不一样。正解可以跑更大的数据。所以通过这道题，还能教会我们在考场上的一个答题技巧：当我们只能想出暴力思路的时候，想一想怎么通过已知手段优化暴力算法，说不定搞一搞正解就出来了。

闲话少叙，直奔主题：

我们已经得出了暴力的思路：记录朋友，累加答案。我们刚刚采用的记录朋友的办法是开矩阵数组。但这样肯定开不下空间（$n\le 2\times 10^5$）。于是我们开始想：什么东西可以使得我们对$1-n$每个人都记录一个序列，同时做到方便地加入和删除呢？

$STL$大法：$set$容器。

使用了$set$的代码就变成了80分，剩下的两个点$TLE$了。

80pts代码如下：

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<set>

using namespace std;

const int maxn=2*1e5+1;

int n,m;

set<int> s[maxn];

set<int>::iterator it;

int ans[maxn];

char *p1,*p2,buf[100000];

#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

int read()

{

    int x=0,f=1;

    char ch=nc();

    while(ch<48){if(ch=='-')f=-1;ch=nc();}

    while(ch>47)    x=x*10+ch-'0',ch=nc();

    return x*f;

}

int main()

{

    n=read();m=read();

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        int x,y;

        char ch=nc();

        if(ch=='+')

        {

            x=read();y=read();

            s[x].insert(y);

            s[y].insert(x);

        }

        else if(ch=='-')

        {

            x=read();y=read();

            s[x].erase(y);

            s[y].erase(x);

        }

        else

        {

            x=read();

            for(it=s[x].begin();it!=s[x].end();it++)

                ans[*it]++;

        }

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%d ",ans[i]);

    return 0;

}

加了读入优化，然而并没有用......

那我们继续去想......

因为$TLE$了，那么显然是统计答案时出的问题。80分的思路统计答案的时候使用迭代器从头到尾给$x$的每个答案$+1$，这种复杂度差不多是$O(n\times m)$显然是不行的。

那么我们这样考虑：既然一次加一个不行，我们就一次加一堆。

具体实现的原理是这样的：

设想一下，现在你是个包工头，有一个人要给你打工，工钱每天一块钱。然后有一天这个人不干了，于是你把他这些天的工钱一起结算给他，你们愉快地一拍两散~

迁移到这道题：当你每次更博的时候，就相当于工地干了一天活，你要给你的工人们（朋友）发一块钱的工资。你觉得一天一结算太麻烦，于是你记录下来了每个工人第一天来上班的日子和退休的日子，然后一起把钱结算给它们。

这是个差分思想么！

我们开一个数组$cnt[i]$，表示截止到目前，$i$已经发了多少条微博。当一个人加了$i$的好友，那么就记录这个人什么时候加的$i$，具体实现方法是把$cnt[i]$减掉，什么时候删除了$i$的好友，再把删除时的$cnt[i]$加回来。这样，$cnt[i_1]$和$cnt[i_2]$的差就代表了这个人成为$i$的好友的这一段时间内接收的微博数量。

当然，这样处理完$m$个询问的时候，还会有一些人仍然是其他人的好友。而我们的这个算法只在删除好友的时候统计答案。这就相当于工地有一天倒闭了，但是有一些工人仍在跟着你，你就算当裤子也必须得给他们发钱。

这道题不需要我们当裤子，只需要在处理完$m$个操作之后再加双层$for$循环强制统计答案即可。

（个人认为这个比喻好形象啊，如果你认为这对你的理解有所帮助，那我顺手求个推荐和好评~）

100pts代码如下：

#include<cstdio>

#include<set>

#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=2*1e5+1;

int n,m;

int cnt[maxn],ans[maxn];

set<int> s[maxn];

set<int>::iterator it;

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        char opt;

        cin>>opt;

        int x,y;

        if(opt=='!')

        {

            scanf("%d",&x);

            cnt[x]++;

        }

        else if(opt=='+')

        {

            scanf("%d%d",&x,&y);

            ans[x]-=cnt[y];

            ans[y]-=cnt[x];

            s[x].insert(y);

            s[y].insert(x);

        }

        else

        {

            scanf("%d%d",&x,&y);

            ans[x]+=cnt[y];

            ans[y]+=cnt[x];

            s[x].erase(y);

            s[y].erase(x);

        }

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(it=s[i].begin();it!=s[i].end();it++)

            ans[i]+=cnt[*it];

    for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%d ",ans[i]);

    return 0;

}