Comet OJ - Contest #10 C.鱼跃龙门

传送门

题意：

求最小的\(x\)，满足\(\frac{x(x+1)}{2}\% n=0,n\leq 10^{12}\)。

多组数据，\(T\leq 100\)。

思路：

• 直接考虑模运算似乎涉及到二次剩余什么的，但比较复杂。
• 注意到比较特殊的就是，最后结果为\(0\)，那么我们就考虑将问题转化为整除。
• 所以式子等价于\(n|\frac{x(x+1)}{2}\)即\(2n|x(x+1)\)。
• 注意到\(n\)的范围，那么我们能\((O\sqrt{n})\)来枚举\(p,q\)，满足\(pq=2n\)。
• 那么就有\(pq|x(x+1)\)，不妨设\(x=qb,x+1=pa\)，那么就有\(pa-qb=1\)，现在就相当于知道\(p,q\)，求解最小的正数解\(a,b\)使得\(x\)最小。
• 显然这是经典的扩展欧几里得问题。

因为这个题卡常，所以我们将枚举改成枚举质因子，注意一下最后质因子分解的时候也要先把素数筛出来，不然也会T。

最后扩展欧几里得得到解的时候注意一下，我们可以选择正项或负项处理，我选择的是按负项处理直接得到答案。

(这点纠结了一会儿，就是处理的时候和位置无关，按正项处理不论处理哪一个都是第一项，负项处理不论哪一个都是第二项。)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 35, MAX = 1e6 + 5;

int T;
ll n;

bool chk[MAX];
int prime[MAX], tot;

void pre() {
    for(int i = 2; i < MAX; i++) {
        if(!chk[i]) {
            chk[i] = 1;
            prime[++tot] = i;
            for(ll j = 1ll * i * i; j < MAX; j += i) {
                chk[j] = 1;
            }
        }
    }
}

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z = x ;
    x = y;
    y = z - y * (a / b);
}

int cnt;
ll tmp[N];

ll calc(ll a, ll b) {
    ll x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    y = (y % a + a) % a;
    if(y * b >= 0) y -= a;
    return -y * b;//按负项处理
}

ll dfs(int num, ll a, ll b) {
    if(num > cnt) return calc(a, b);
    return min(dfs(num + 1, a * tmp[num], b), dfs(num + 1, a, b * tmp[num]));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
    pre();
    cin >> T;
    while(T--) {
        cin >> n;
        n <<= 1;
        cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= tot; i++) {
            if(prime[i] > n) break;
            if(n % prime[i] == 0) {
                tmp[++cnt] = 1;
                ll now = prime[i];
                while(n % prime[i] == 0) {
                    tmp[cnt] *= now;
                    n /= prime[i];
                }
            }
        }
        if(n > 1) tmp[++cnt] = n;
        ll ans = dfs(1, 1, 1);
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}