275.H指数II

1.题目介绍

给你一个整数数组 citations ，其中 citations[i] 表示研究者的第 i 篇论文被引用的次数，citations 已经按照 升序排列 。计算并返回该研究者的 h 指数。

h 指数的定义：h 代表“高引用次数”（high citations），一名科研人员的 h 指数是指他（她）的 （n 篇论文中）至少 有 h 篇论文分别被引用了至少 h 次。

请你设计并实现对数时间复杂度的算法解决此问题。

2.题解

2.1 模拟

思路分析

这里使用

代码

class Solution {
public:
  int hIndex(vector<int>& citations) {
​    int h = 0;
​    for (int i = citations.size() - 1; i>=0; i--){
​      if (citations[i] > h) h++; //这里要考虑到我加入一篇新论文之后，比较的论文总数是h+1而不是h,
​      else return h;
​    }
​    return h; // 若是所有的论文引用次数，都大于n便移动到此处
  }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n) 这里并不满足题目要求！所以我们考虑二分查找思路

2.2 二分查找

思路分析

这里数组已经按升序排列，题目要求要用对数时间复杂度，所以我们就可以直接针对数组进行二分查找。

但是注意这里比较容易错的是，这里是升序排列，所以我们计算已经加入的论文数目时，并不是使用 mid（当前下标） + 1 来计算， 而是使用 len - mid 来进行计算。

原理：比如像结尾：return len - left;

我们使用len - left = 尾下标 + 1 - left；

根据种树原理，尾指针-起始指针+1 = 个数。

也就是说：尾下标 - left + 1 就是我们需要的论文个数

同理 if (citations[mid] >= len - mid) 中使用 len - mid计算已经加入的论文个数

（这里的mid是下标，len是总数目，二者相减计算的刚好是相差的数目）

代码

这里len - mid 表示的就是现在所取的论文数目，mid为其所处数组的下标位置

这里的left，right都是按下标来算的，

这里其实上是一个左开右闭区间（left左边节点不成立，right（包括right）右边节点成立）

对于while (left < right)

当left = right - 1 时，

由于int mid = left + (right - left) / 2;，

向下取整 mid = left;

有两种情况:

1.当前mid节点满足条件，right = mid(left) = right - 1; right向左推进一个，与left（mid）重合，此时left左边节点均不成立，right（包含right）右边节点均成立，所以这里所求下标值即为left/right，这里论文的个数即为 len - left/right。

2.当前mid节点不满足条件，left = mid(left) + 1 = right; left向右推进一个，与right（mid+1）重合，所以这里所求下标值即为left/right，这里论文的个数即为 len - left/right。

class Solution {
public:
    int hIndex(std::vector<int>& citations) {
        int len = citations.size();
        int left = 0, right = len;
        while (left < right){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            //确保在计算 mid 时不会发生溢出,实际计算和（right+left）/2等效

            //这里注意mid的值越大成立越容易
            if (citations[mid] >= len - mid) {
                right = mid;//mid成立了。根据连续性，右边更大的节点肯定也成立，   h <= mid,在(...,mid]中探寻h的值
            } else {
                left = mid + 1; //mid肯定是不成立了。根据连续性，左边更小的节点也不成立，h > mid,在[mid+1, ...]即(mid,...]中探寻h的值。
            }
        }
        return len - left;
    }
};

2.3 通过开闭区间来进行理解

思路分析

1.这里将mid当作当前加入论文的最大数目

if (citations[n - mid] >= mid) ，这里使用 n - mid = 尾指针 + 1 - 数目（包括起始和尾指针） = 尾指针 - [ 数目（包括起始和尾指针）- 1] = 尾指针 - 移动数目 = 起始指针。

总而言之，这里的mid因为包含的是起始->尾部 所有的数目 = 移动数目 + 1; 而 n 恰好为尾指针 +1 两个1抵消。

2. 对于left 和 right 的讨论

对于所处闭区间，使用 left/right = mid；

对于所处开区间，使用 left/right = mid + 1 / mid - 1;

首先是闭区间,结束条件也就是区间不成立的情况：

3.结束条件的讨论:

注意：二分的区间不一定包含答案，答案可能在二分的区间外。

3.1闭区间【left左边的点均成立，right右边的点均不成立】

while (left <= right)（这里的left/right指向的是h指数所在区间，不是指向的引用次数数组）

当到达 left == right 的时候，有两种情况：

1.该mid是成立，left = mid(即left) + 1;

由于right右边所有的点均已证明为不成立，left+1正好指向的是此时right右边的第一个不成立点；

而right指向的点（为left加一之前指向的点）左边的点已证明均成立，

所以实际上要返回的是right所对应的。

2.该mid是不成立，right = mid(即right/left) - 1;

由于left是由成立的mid+1而来，所以left前面所有可能得论文次数都是成立的，

right回退到最大的那个点上，返回right

补充：这里left = h + 1; right = h; 故return left - 1 / return right均可。

且注意这里由于都是闭区间，所以可从[1,n]作为初始区间，至于为何是从1而不是0开始，请看下方解释。

假设最后的mid = 3，下图分别对应两种情况最终位置：

// 闭区间
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int> &citations) {
        // 在区间 [left, right] 内询问
        int n = citations.size();
        int left = 1;
        int right = n;
        while (left <= right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // left-1 的回答一定为「是」
            // right+1 的回答一定为「否」
            int mid = (left + right) / 2; // left+(right-left)/2
            // 引用次数最多的 mid 篇论文，引用次数均 >= mid
            if (citations[n - mid] >= mid) {
                left = mid + 1; // 询问范围缩小到 [mid+1, right]
            } else {
                right = mid - 1; // 询问范围缩小到 [left, mid-1]
            }
        }
        // 循环结束后 right 等于 left-1，回答一定为「是」
        // 根据循环不变量，right 现在是最大的回答为「是」的数
        return right;
    }
};

作者：灵茶山艾府
链接：https://leetcode.cn/problems/h-index-ii/solutions/2504326/tu-jie-yi-tu-zhang-wo-er-fen-da-an-si-ch-d15k/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

3.2左闭右开区间【left左边的点均成立，right（包括right）右边的点均不成立】

while (left < right)（比如像[4,5)，由于数目不是小数，故此时已经可以结束循环）

当到达left = right - 1时

由于这里是向下取整, mid == left;

这里也有两种情况

1.该mid是成立，left = mid（left） + 1 = right；

而又因为左闭区间，left左侧所有点均成立均是成立的

由于这里右边是开区间，表明包括从right开始（包括right）的点是不成立的

故h = （left - 1）或 （right - 1）；

2.该mid是不成立，right = mid（right - 1）；

此时 left == right;

由于这里左闭区间，所以left左边所有的点均成立。

由于这里右开区间，所以right包括right右边所有的点均不成立。

故h = （left - 1）或 （right - 1）；

补充:且注意这里由于左闭右开，所以可从[1,n+1) (选用n+1就保证了n在区间内)作为初始区间，至于为何是从1而不是0开始，请看下方解释。

假设最后的mid = 3，下图分别对应两种情况最终位置：

// 左闭右开区间
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int> &citations) {
        // 在区间 [left, right) 内询问
        int n = citations.size();
        int left = 1;
        int right = n + 1;
        while (left < right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // left-1 的回答一定为「是」
            // right 的回答一定为「否」
            int mid = (left + right) / 2;
            // 引用次数最多的 mid 篇论文，引用次数均 >= mid
            if (citations[n - mid] >= mid) {
                left = mid + 1; // 询问范围缩小到 [mid+1, right)
            } else {
                right = mid; // 询问范围缩小到 [left, mid)
            }
        }
        // 根据循环不变量，left-1 现在是最大的回答为「是」的数
        return left - 1;
    }
};

作者：灵茶山艾府
链接：https://leetcode.cn/problems/h-index-ii/solutions/2504326/tu-jie-yi-tu-zhang-wo-er-fen-da-an-si-ch-d15k/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

3.3左开右闭区间【left（包括left）左边的点均成立，right右边的点均不成立】

while (left < right)

当到达left = right - 1时

如果依旧使用向下取整

int mid = (left + right) / 2; 使得mid == left;

这里只有一种情况：

1.该mid是成立，left = mid（left）；left = right - 1;

这里的left依旧等于right - 1，发生无限循环，冲突

2.此时由于mid = left， 而根据左开得知，left指向的点必是成立的，所以mid没有不成立的情况。

如果我们使用向上取整呢？

使用向下取整int mid = (left + right + 1) / 2; 使得mid == right;

这里也有两种情况：

1.该mid是成立，left = mid（right）；

而又因为左开区间，left（包括left）左侧所有点均成立均是成立的

由于这里右闭区间，表明包括从right右边所有的点是不成立的

故h = left 或 right；

2.该mid是不成立，right = mid（right） - 1 = left；

而又因为左开区间，left（包括left）左侧所有点均成立均是成立的

由于这里右闭区间，表明包括从right右边所有的点是不成立的

故h = left 或 right；

补充:且注意这里由于左闭右开，所以可从(0,n] (选用0就保证了1在区间内)作为初始区间，至于为何是从1而不是0开始，请看下方解释。

假设最后的mid = 3，下图分别对应两种情况最终位置：

//左开右闭区间
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int> &citations) {
        // 在区间 (left, right] 内询问
        int n = citations.size();
        int left = 0;
        int right = n;
        while (left < right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // left 的回答一定为「是」
            // right+1 的回答一定为「否」
            int mid = (left + right + 1) / 2; // 保证 mid 在二分区间内
            // 引用次数最多的 mid 篇论文，引用次数均 >= mid
            if (citations[n - mid] >= mid) {
                left = mid; // 询问范围缩小到 (mid, right]
            } else {
                right = mid - 1; // 询问范围缩小到 (left, mid-1]
            }
        }
        // 根据循环不变量，left 现在是最大的回答为「是」的数
        return left;
    }
};

作者：灵茶山艾府
链接：https://leetcode.cn/problems/h-index-ii/solutions/2504326/tu-jie-yi-tu-zhang-wo-er-fen-da-an-si-ch-d15k/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

3.4开区间【left（包括left）左边的点均成立，right（包括right）右边的点均不成立】

while (left + 1 < right) [(3,5)包含4，(3,4)区间内只有小数]

当left = right - 2;时， 有mid == left + 1;

这里也有两种情况

1.该mid是成立，left = mid（left + 1） = right - 1；

而又因为左开区间，left（包含left）左侧所有点均成立均是成立的

由于这里右开区间，right（包括right）右侧所有的点是不成立的

故h = （left）或 （right - 1）；

2.该mid是不成立，right = mid（right - 1）；

此时 left == right - 1;

由于这里左开区间，所以left（包括left）左边所有的点均成立。

由于这里右开区间，所以right（包括right）右边所有的点均不成立。

故h = （left）或 （right - 1）；

假设最后的mid = 3，下图分别对应两种情况最终位置：

//开区间
class Solution {
public:
    int hIndex(vector<int> &citations) {
        // 在区间 (left, right) 内询问
        int n = citations.size();
        int left = 0;
        int right = n + 1;
        while (left + 1 < right) { // 区间不为空
            // 循环不变量：
            // left 的回答一定为「是」
            // right 的回答一定为「否」
            int mid = (left + right) / 2;
            // 引用次数最多的 mid 篇论文，引用次数均 >= mid
            if (citations[n - mid] >= mid) {
                left = mid; // 询问范围缩小到 (mid, right)
            } else {
                right = mid; // 询问范围缩小到 (left, mid)
            }
        }
        // 根据循环不变量，left 现在是最大的回答为「是」的数
        return left;
    }
};

作者：灵茶山艾府
链接：https://leetcode.cn/problems/h-index-ii/solutions/2504326/tu-jie-yi-tu-zhang-wo-er-fen-da-an-si-ch-d15k/
来源：力扣（LeetCode）
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4.为何从1开始

肯定有0篇论文的引用次数≥0，

对于讠=0的询问，回答必然为「是」

因此二分区间不需要包含0，可以在「1，n」/ （0，n] 中二分。

5.各种情况图览