1,运营商的挑战:

1,在下图标出的城市间架设一条通信线路;

2,要求:

1,任意两个城市间都能够通信;

2,将架设成本降至最低;

2,问题抽象:

1,如何在图中选择 n - 1 条边使得 n 个顶点间两两可达,并且这 n - 1 条边的权值之和最小?

3,最小(大)生成树:

1,仅使用图中的 n - 1 条边连接图中的 n 个顶点;

2,不能使用产生回路的边;

3,各边上的权值总和达到最小(大);

4,寻找最小生成树:

5,使用 prim 方法手工寻找最小生成树:

6,最小生成树算法步骤(prim):

1,选择某一顶点 v0 作为起始顶点,使得 T = {v0},F = {v1, v2, ..., vn},E = {};

2,每次选择一条边,这条边是所有(u, v)中权值最小的边,且 u 属于 T,v 属于 F;

3,修改 T,F,E:

T = T + {v}, F = F - {v}, E = E + {(u, v)}

4,当 F != NULL 时,且(u, v)存在,转 2;否则,结束;

7,最小生成树算法的原材料:

1,如果 T 集合到 F 集合中同一个顶点的连接有多条,那么选取权值最小的连接;

8,最小生成树算法流程图:

9,注意事项:

1,最小生成树仅针对无向图有意义;

2,必须判断图对象是否能够看做无向图;

1,如果可以才能够用 prim 算法;

10,有向图可看做无向图的充分条件:

1,有向的任意两顶点之间若存在连接,则两顶点相互可达、权值相等;

11,图类型(Graph)中的新增成员函数:

1,virtual bool isAdjacent(int i, int j) = 0;

1,判断在当前图中顶点 i 到顶点 j 是否邻接;

2,bool asUndirected();

1,判断当前的有向图是否能够看做无向图;

12,最小生成树 prim 算法实现:

 1,判断邻接的实现:
  1,邻接矩阵的实现:
     /* 判断 i 到 j 顶点边是否连接,值不为空就连接 */
bool isAdjacent(int i, int j)
{
return ( <= i) && (i < vCount()) && ( <= j) && (j < vCount()) && (m_edges[i][j] != NULL);
}
  2,邻接链表的实现:
     bool isAdjacent(int i, int j)
{
return ( <= i) && (i < vCount()) && ( <= j) && (j < vCount()) && (m_list.get(i)->edge.find(Edge<E>(i, j)) >= );
}

   2,判断是否为无向图的实现:

    /* 最小生成树只能用于无向图,而我们针对的是有向图,所以要判断有向图什么时候能够被当做无向图 */
bool asUndirected()
{
bool ret = true; for(int i=; i<vCount(); i++)
{
for(int j=; j<vCount(); j++)
{
/* i 到 j 是连接的,并且 j 到 i 也是连接的,然后权值也要相等 */
if( isAdjacent(i, j) )
{
ret = ret && isAdjacent(j, i) && (getEdge(i, j) == getEdge(j, i));
}
}
} return ret;
}

  3,Prim算法实现:

    /* Prim 法实现最小、大生成树;返回值是数组,因为最小、大生成树的结果就是一系列的边,所以返回边的数组;参数表示理论上的最大权值; */
SharedPointer< Array< Edge<E> > > prim(const E& LIMIT, const bool MINIMUM = true) // 返回一个指向存储边的数组指针
{
LinkQueue< Edge<E> > ret; // 返回边队列,本质是 E 集合 /* 执行 prim 算法 */
if( asUndirected() ) // 无向图
{
DynamicArray<int> adjVex(vCount());//保存最小权值的边的 F集合中顶点
DynamicArray<bool> mark(vCount()); // 保存 T 集合或者 F 集合的标记
DynamicArray<E> cost(vCount()); // 保存最小权值的顶点中 E 集合中顶点,寻找最小值要配合 mark 使用
SharedPointer< Array<int> > aj = NULL; // 保存某个顶点邻接数组
bool end = false; // 用于标记判断 prim 是否要中断执行
int v = ; // 代表习惯性的从 0 顶点生成最小生成树 /* 执行初始化 */
for(int i=; i<vCount(); i++)
{
adjVex[i] = -; // 没有边被访问
mark[i] = false; // 顶点都没有被访问
cost[i] = LIMIT; // 参数传递理论上的最大权值
} mark[v] = true; // 初始顶点做标记 aj = getAdgacent(v); // 获取初始顶点的邻接顶点 /* 设置初始顶点对应的位置 */
for(int j=; j<aj->length(); j++)
{
cost[(*aj)[j]] = getEdge(v, (*aj)[j]); // 保存/到对应顶点的响应权值
adjVex[(*aj)[j]] = v; // 记录权值所对应的顶点,即能够得到边
} /* 真正循环找边 */
for(int i=; (i<vCount()) && !end; i++) // 最多循环顶点次;也可能条件不满足,提前结束,所以有 !end
{
E m = LIMIT;
int k = -; // 记录最小值的顶点 /* 通过 cost 数组找最小值 */
for(int j=; j<vCount(); j++)
{
if( !mark[j] && (MINIMUM ? (cost[j] < m) : (cost[j] > m)) ) // !makr[j] 条件是因为选取最小权值时本质上是选取连接的最小边,对应的顶点是在 F集合,此时 mark 中对应的值为假当中的,则在 mark 数组中对应的就为假,所以要这个条件,这里有最小值最大值的设置
{
m = cost[j];
k = j; // 得到记录的最小值的顶点号
}
}
end = (k == -); // 是否找到合法最小权值,因为有可能在上面 if 条件中没有找到合法的最小权值
if( !end )
{
ret.add(Edge<E>(adjVex[k], k, getEdge(adjVex[k], k))); // 在 adjVex 中找到这条边 mark[k] = true; // 标记顶点进入了 T 集合 aj = getAdgacent(k); // 找新的集合连接 /* 找到之后更新 cost 数组和 adgVex 数组 */
for(int j=; j<aj->length(); j++)
{
if( !mark[(*aj)[j]] && (MINIMUM ? (getEdge(k, (*aj)[j]) < cost[(*aj)[j]]) : (getEdge(k, (*aj)[j]) > cost[(*aj)[j]])) ); //只对 F 集合操作
{
cost[(*aj)[j]] = getEdge(k ,(*aj)[j]); //如果 T 到 F 集合新连接权值较小,则记录到 cost 数组中,新加入的点 k 和之前 T 集合里的点到 F 集合里的点的权值要比较呢;如果在 k 到 F 集合中找不到合适的点,则用T中的点代替
adjVex[(*aj)[j]] = k; // 将最小权值的起始点设入到邻接边中
}
}
}
}
}
else
{
THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "Prim operation is for undirected graph only ...");
} /* 判断边的数目是否够,即 n-1 条边 */
if( ret.length() != (vCount() - ) )
{
THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No enough edge for prim operation ...");
}
return toArray(ret); // 返回值是边的数组
}

14,prim 算法测试代码:

 #include <iostream>
#include "MatrixGraph.h"
#include "ListGraph.h" using namespace std;
using namespace DTLib; template< typename V, typename E >
Graph<V, E>& GraphEasy()
{
   static MatrixGraph<, V, E> g; g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
   g.setEdge(, , ); return g;
} template< typename V, typename E >
Graph<V, E>& GraphComplex()
{
   static ListGraph<V, E> g(); g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
g.setEdge(, , );
   g.setEdge(, , ); return g;
} int main()
{
Graph<int, int>& g = GraphEasy<int, int>();
   SharedPointer< Array< Edge<int> > > sa = g.prim();    int w = ; for(int i=; i<sa->length(); i++)
{
w += (*sa)[i].data; cout << (*sa)[i].b << " " << (*sa)[i].e << " " << (*sa)[i].data << endl;
   }    cout << "Weight: " << w << endl; return ;
}

15,小结:

1,最小生成树使得顶点间的连通代价最小;

2,Prim 算法通过顶点的动态标记寻找最小生成树;

3,Prim 算法的关键是集合概念的运用(T 集合,F 集合);

4,利用 Prim 算法的思想也能寻找图的“最大生成树”;

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