[CF735E/736C]Ostap and Tree
题目大意:
一个$n(n\le100)$个点的树,将一些点染成黑点,求满足每个点到最近黑点的距离$\le k(k\le\min(20,n-1))$的方案数。
思路:
树形DP。
用$f[i][j]$表示$i$的子树中离$i$最近黑点的距离为$j$,且距离超过$j$的点都被满足的方案数。转移时新建一个临时数组$tmp$保存转移后的$f[x]$。设$y$是$x$的子结点,枚举$f[x][i]$和$f[y][j]$,转移如下:
1.若$i+j\le2k$,则此时$\min(i,j+1)\le k$,对于长度为$i+j+1$的链上的所有点都可以找到一边距离$\le k$,因此状态合并以后是合法状态,转移$tmp[\min(i,j+1)]+=f[x][i]\times f[y][j]$;
2.若$i+j>2k$,则此时$\max(i,j+1)>k$,链上肯定会存在一些点两边都够不到,转移$tmp[\max(i,j+1)]+=f[x][i]\times f[y][j]$。
初始状态$f[x][0]=1$,表示不考虑子树内的情况,选择自己的方案数为$1$;$f[x][k+1]=1$,表示自己本身不满足,但子结点都被满足的情况,主要是方便转移。
答案为$\sum_{i<=k}f[root][i]$。
时间复杂度$O(nk^2)$。
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<forward_list>
typedef long long int64;
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^'';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
return x;
}
const int N=,K=,mod=1e9+;
int k,f[N][K],tmp[K];
std::forward_list<int> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
e[u].push_front(v);
e[v].push_front(u);
}
void dfs(const int &x,const int &par) {
f[x][]=f[x][k+]=;
for(int &y:e[x]) {
if(y==par) continue;
dfs(y,x);
std::fill(&tmp[],&tmp[k*]+,);
for(register int i=;i<=k*;i++) {
for(register int j=;j<=k*;j++) {
(tmp[i+j<=k*?std::min(i,j+):std::max(i,j+)]+=(int64)f[x][i]*f[y][j]%mod)%=mod;
}
}
std::copy(&tmp[],&tmp[k*]+,f[x]);
}
}
int main() {
const int n=getint();k=getint();
for(register int i=;i<n;i++) {
add_edge(getint(),getint());
}
dfs(,);
int ans=;
for(register int i=;i<=k;i++) {
(ans+=f[][i])%=mod;
}
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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