【BZOJ3930】[CQOI2015]选数

Description

我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。

Output

输出一个整数,为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案:(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)
其中最大公约数等于2的只有3组:(2, 2), (2, 4), (4, 2)
对于100%的数据,1≤N,K≤10^9,1≤L≤H≤10^9,H-L≤10^5

题解:先令l=(L-1)/K+1,r=(H-1)/K+1,于是所求变成了:

然后用杜教筛,注意l<d的情况

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int m=1000000;
typedef long long ll;
map<ll,ll> mp;
int num;
int mu[m+10],pri[m/10];
bool np[m+10];
ll sm[m+10];
ll pm(ll x,ll y)
{
ll z=1;
while(y)
{
if(y&1) z=z*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}
return z;
}
ll getsm(ll x)
{
if(x<=m) return sm[x];
if(mp.find(x)!=mp.end()) return mp[x];
ll ret=1,i,last;
for(i=2;i<=x;i=last+1)
{
last=x/(x/i);
ret=(ret-(last-i+1)*getsm(x/i)+mod)%mod;
}
mp[x]=ret;
return ret;
}
int main()
{
ll i,j,last,ans=0;
ll N,K,L,H;
sm[1]=mu[1]=1;
for(i=2;i<=m;i++)
{
if(!np[i]) pri[++num]=i,mu[i]=-1;
sm[i]=sm[i-1]+mu[i];
for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=m;j++)
{
np[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)
{
mu[i*pri[j]]=0;
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
scanf("%lld%lld%lld%lld",&N,&K,&L,&H),L=(L-1)/K,H=H/K;
for(i=1;i<=H;i=last+1)
{
if(i<=L) last=min(L/(L/i),H/(H/i));
else last=H/(H/i);
ans=(ans+(getsm(last)-getsm(i-1)+mod)*pm((H/i-L/i),N))%mod;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}

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