欧拉函数 and 大数欧拉 （初步）

前两天总结了素数筛法，其中就有Eular筛法。现在他又来了→→

φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

毕竟是伟大的数学家，所以以他名字命名的东西很多辣。

对于φ(n)，我们有这样【三个性质】：

(1) 【若n为素数】，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。

比如φ(11)=10={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

(2) 【若n = p^k】，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：

p^k-1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1）

比如3^4=3*3*3*3=3*27,则与他不互质的有3*1,3*2....3*26，共p^(k-1)-1=26个,则φ（n）=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=(p-1)*p^(k-1).

     φ(81)={1,2,4,5,7,8....}

(3) 【若p和q互质】，则φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

对于所有小于pq的整数u，可以表示为u=aq+r。(a=0,1,2,...,p-1，r=0,1,...,q-1)。

对于u = aq + r, 设R = u mod p，0≤R<q。对于一个固定的r，设a1, a2满足0 <= a1, a2 < p且a1≠a2，有：

     u1 = a1*q+r, u2 = a2*q+r
     u1-u2=(a1-a2)*q

因为p与q互质，且|a1-a2|<p，则|u1-u2|一定不是p的倍数。

所以对于每一个固定的r，其对应的p个u = a*q+r(a=0,1,2,...,p-1)对mod p来说余数都不相同，即u mod p的结果恰好取遍0,1,...,p-1中的每一个数。

下面我证明一个引理：u mod p与p互质 <=> u与p互质，其证明如下：

    假设a,b互质,c = a mod b。
    假设c与b不互质，则存在d≥1，使得c=nd, b=md。
    由于c = a mod b，因此a = kb + c，
    则a = kmd + nd = (kn+m)d
    因此d是a,b的公因数，与a,b互质矛盾。
    假设不成立，所以c与b互质。

因此对于任意一个确定的r，与其对应的p个u中恰好有φ(p)个与p互质。

同理，由u = aq + r知r与q互质 <=> u与q互质。因此在0..q-1中恰好有φ(q)个r使得u与q互质。

综上，当r与q互质的情况下，固定r可以得到φ(p)个与p和q都互质的数。

满足条件的r一共用φ(q)个，所以一共能找到有φ(p) * φ(q)个与p和q都互质的数。

由此得证：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

这一段证明不是太好理解，一定要自己推导一遍哦。

在上面这些性质的基础上我们能到推导出【两条定理】：

若p为质数，n为任意整数：

(1)【 若p为n的约数】，则φ(n*p) = φ(n) * p

若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。

显然有p^k与m互质，则：

       φ(n) = φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)
       φ(n*p) = φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p =  φ(n) * p

(2) 【若p为不为n的约数】，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)

根据这两条定理，当我们得到一个n时，可以枚举质数p来递推的求解φ(n*p)。这一步是不是觉得很眼熟呢？

这是我们使用【欧拉筛法】时一样的算法么？

没错！因此我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动，就可以得到递推求解φ(n)的算法：

int isp[maxn+],phi[maxn+],q[maxn],cnt;
void urlar()
{
    for(int i=;i<=maxn;i++) isp[i]=true;
    for(int i=;i<=maxn;i++){
        if(isp[i]){
            phi[i]=i-;
            q[++cnt]=i;
        }
        for(int j=;j<=cnt&&q[j]*i<=maxn;j++){
            isp[q[j]*i]=false;
            if(i%q[j]==){
                phi[i*q[j]]=phi[i]*q[j];
                break;
            }
            else phi[i*q[j]]=phi[i]*(q[j]-);
        }
    }
}

因为欧拉筛的时间复杂度是O(n)的，因此求出一个大区间内所有数的欧拉函数也只用了O(n)的时间。

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如果我们要求一个大数是不是素数，欧拉筛法是不行的，得用Miller-Rabin算法。

如果我们要求一个大数的互质数数量，普通欧拉函数也是不行的，得用Miller-Rabin Pollard-rho启发式分解。

有空再补