Project Euler 389 Platonic Dice (概率)

题目链接：

https://projecteuler.net/problem=389

题意：

掷一个正四面体骰子，记点数为\(T\)。

掷\(T\)个正六面体骰子，记点数和为\(C\)。

掷\(C\)个正八面体骰子，记点数和为\(O\)。

掷\(O\)个正十二面体骰子，记点数和为\(D\)。

掷\(D\)个正二十面体骰子，记点数和为\(I\)。

求\(I\)的方差，并将你的答案四舍五入到\(4\)位小数。

每个面出现的概率等价。

题解：

可能我学了假的概率论和统计方法...以前不知道Bienaymé formula...可能学了也忘了...不过我们可以查 Wiki...QAQ... https://en.wikipedia.org/wiki/Variance

纵所周知，正\(n\)边形的骰子，掷骰子得到的期望点数可以定义为离散随机变量。

比如六面的骰子，每个面\(1\)~\(6\)，每个面出现的概率等价。那么期望点数 \(X = \frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)}{6} =\frac{7}{2}\)。期望的方差就是 \(Var(X) = \sum_{i=1}^{6}\frac{1}{6}(i-\frac{7}{2})^2 = \frac{35}{12}\)。

拓展一下，对于正\(n\)边形的骰子，每个面\(1\)~\(n\)，期望点数\(X\)就是\(X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n+1}{2}\)。

期望方差就是 \(Var(X) = E(X^2) - (E(X)^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i - (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i)^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} -(\frac{n+1}{2})^2 = \frac{n^2 - 1}{12}\)。

最后根据 the Law of Total Variance，即 \(Var(I) = Var(E(I|D)) + E(Var(I|D))] = Var(D)E(d)E(d) +Var(d) E(D)\) 就可以做出来啦。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int dice[5] = {4,6,8,12,20};

//https://en.wikipedia.org/wiki/Variance

double E(int n)
{
    return (n + 1) / 2.0;
}
double Var(int n)
{
    return (n * n - 1) / 12.0;
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    double e = 0.0 , var = 0.0;
    double ed = 1.0, varsum = 0;
    for(int i = 0; i < 5; i++) {
        e = E(dice[i]);
        var = Var(dice[i]);
        varsum = varsum * e * e + var * ed;
        ed = ed * e;
    }
    printf("%.4f\n", varsum);
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
    return 0;
}