hdu 2243 考研路茫茫——单词情结 AC自动机 矩阵幂次求和

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题意

给定\(N\)个词根，每个长度不超过\(5\). 问长度不超过\(L(L\lt 2^{31})\)，只由小写字母组成的，至少包含一个词根的单词，一共可能有多少个？

思路

状态（AC自动机）及状态转移（矩阵快速幂）的想法基本与上一题poj 2778 DNA Sequence 状态及状态转移 AC自动机 矩阵快速幂类似。

不同处有两点：

上一题是问不包含任何一个危险子串的有多少个，这一题是问至少包含一个，直接按上题做法求得答案用总数减去它即可。

**错误做法**：只保留能够通过$fail$指针到达某个单词结尾状态的节点，将其他节点全部删去。
上题中之所以需要删去所有能够到达危险状态的点，是因为它们绝对不能作为中间状态而存在。而本题中不能通过fail指针到达单词结尾的点是可以作为中间状态而存在的，毕竟是要借助它们才能到达结尾状态的。

上一题是求指定长度的，本题是求长度小于等于\(L\)的。

记关系矩阵为\(A\)，则上一题是求\(A^n\)，而这一题是求$$I+A+A^2+...+An$$这也是可以用矩阵快速幂做的，

记\(S_k=I+A+A^2+...+A^{k-1}\)，则有

\[\pmatrix{A^k\cr S_k}=\pmatrix{A&0\\I&I}\pmatrix{A^{k-1}\\S_{k-1}}$$就又可以欢乐地用矩阵快速幂做了~

// 此外，从中得到启示，等比数列求和也都可以这么做了，比如这道题里面的$26+26^2+...+26^l$，记$T_k=26+26^2+...+26^{k-1}$，则有
$$\pmatrix{a^k\\T_k}=\pmatrix{26&0\\1&1}\pmatrix{a^{k-1}\\T_{k-1}}\]

但是只能说是自娱自乐一下...。

// 此外，本题的输出是要求模\(2^64\)，于是可以直接用\(unsigned\ long\ long\)，输出注意是\(\%I64u\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define SIZE 26
#define maxn 32
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
int cnt;
typedef struct {
    ULL mat[maxn<<1][maxn<<1];
    void init(ULL x, int cnt){
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
        for(int i=0; i<cnt; i++) mat[i][i] = x;
    }
    void print(int cnt) const {
        for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
            for (int j = 0; j < cnt; ++j) printf("%lld ", mat[i][j]); printf("\n");
        }
    }
} Matrix;
Matrix m0, m1, m2;
ULL add(ULL a, ULL b) { return a + b; }
ULL mul(ULL a, ULL b) { return a * b; }
Matrix mulm(const Matrix& a, const Matrix& b, int cnt) {
    Matrix temp;
    temp.init(0, cnt);
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            for (int k = 0; k < cnt; ++k) temp.mat[i][j] = add(temp.mat[i][j], mul(a.mat[i][k], b.mat[k][j]));
        }
    }
    return temp;
}
Matrix addm(const Matrix& a, const Matrix& b, int cnt) {
    Matrix temp;
    temp.init(0, cnt);
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) for (int j = 0; j < cnt; ++j) temp.mat[i][j] = add(a.mat[i][j], b.mat[i][j]);
    return temp;
}
Matrix poww(Matrix m, ULL n, int cnt) {
    Matrix a = m, ret;
    ret.init(1, cnt);
    while (n) {
        if (n & 1) ret = mulm(ret, a, cnt);
        a = mulm(a, a, cnt);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}
int son[maxn][SIZE], fail[maxn], tot;
ULL mat[maxn][maxn];
bool flag[maxn];
void insert(char* s, int len) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        if (son[p][s[i]-'a'] == -1) {
            flag[++tot] = 0;
            for (int j = 0; j < SIZE; ++j) son[tot][j] = -1;
            son[p][s[i]-'a'] = tot;
        }
        p = son[p][s[i]-'a'];
    }
    flag[p] = true;
}
void build() {
    queue<int> que;
    fail[0] = 0;
    for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
        if (son[0][i] == -1) son[0][i] = 0;
        else {
            fail[son[0][i]] = 0;
            que.push(son[0][i]);
        }
        ++mat[0][son[0][i]];
    }
    while (!que.empty()) {
        int x = que.front(); que.pop();
        for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
            if (son[x][i] == -1) son[x][i] = son[fail[x]][i];
            else {
                fail[son[x][i]] = son[fail[x]][i];
                flag[son[x][i]] |= flag[fail[son[x][i]]];
                que.push(son[x][i]);
            }
            ++mat[x][son[x][i]];
        }
    }
}
void init() {
    flag[tot = 0] = 0;
    memset(mat, 0, sizeof mat);
    memset(m0.mat, 0, sizeof m0.mat);
    memset(m1.mat, 0, sizeof m1.mat);
    memset(m2.mat, 0, sizeof m2.mat);
    for (int i = 0; i < SIZE; ++i) son[0][i] = -1;
}

int n, l;
char s[10];
int mp[maxn];
void work() {
    init();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%s", s);
        insert(s, strlen(s));
    }
    build();

    cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= tot; ++i) if (!flag[i]) mp[cnt++] = i;
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            m0.mat[i][j] = mat[mp[i]][mp[j]];
        }
    }

    for (int i = 0; i < cnt; ++i) m0.mat[i+cnt][i] = m0.mat[i+cnt][i+cnt] = 1;
    Matrix fnl = poww(m0, l, cnt<<1);
    for (int i = cnt; i < (cnt<<1); ++i) {
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            m1.mat[i-cnt][j] = fnl.mat[i][j];
            m2.mat[i-cnt][j] = fnl.mat[i][j+cnt];
        }
    }
    Matrix ret = addm(mulm(m1, m0, cnt), m2, cnt);
    ULL sub = 0;
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) sub = add(sub, ret.mat[0][i]);

    Matrix mm;
    mm.mat[0][0] = 26, mm.mat[0][1] = 0, mm.mat[1][0] = 1, mm.mat[1][1] = 1;
    Matrix mmfnl = poww(mm, l, 2);
    ULL sum = add(mul(26, mmfnl.mat[1][0]), mmfnl.mat[1][1]);
    ULL ans = add(sum, -sub);
    printf("%I64u\n", ans);
}
int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &l) != EOF) work();
    return 0;
}