[CQOI2015][bzoj3930] 选数 [杜教筛+莫比乌斯反演]

题面：

传送门

思路：

首先我们把区间缩小到$\left[\lfloor\frac{L-1}{K}\rfloor,\lfloor\frac{R}{K}\rfloor\right]$

这道题的最特殊的点在于，他的gcd不是两个数的而是多个数的，是一坨sigma

但是，我们发现它依然可以反演

令$f\left(i\right)$为区间$\left[l,r\right]$内选出$n$个数，总计$gcd=i$的方法数

令$g\left(i\right)$为区间$\left[l,r\right]$内选出$n$个数，总计$i|gcd$的方法数

那么依旧满足$g(d)=\sum_{d|i}f\left(i\right)$，反演后得到$f(d)=\sum_{d|i}\mu\left(\frac id\right)g\left(i\right)$

因此$f\left(d\right)=\sum_{i=1}^{\frac nd}\left(\lfloor\frac Rd\rfloor-\lfloor\frac Ld\rfloor\right)^n$

答案即为对于缩小过的$L,R$，$f\left(1\right)$的值

因为后半部分的可以用快速幂加数论分块做到$O\left(\sqrt n\right)$

所以前半部分杜教筛$\mu$即可

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<map>
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline ll read(){
     ll re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 ll pri[],tot=,mu[],n,K,L,R;bool vis[];
 ll MOD=1e9+;
 void init(){
     ll i,j,k;mu[]=;
     for(i=;i<=;i++){
         if(!vis[i]){
             pri[++tot]=i;mu[i]=-;
         }
         for(j=;j<=tot;j++){
             k=i*pri[j];if(k>) break;
             vis[k]=;
             if(i%pri[j]==){
                 mu[k]=;break;
             }
             mu[k]=-mu[i];
         }
     }
     for(i=;i<=;i++) mu[i]=mu[i-]+mu[i];
 }
 ll sum1(ll x){return x*(x+)/;}
 map<ll,ll>m;
 ll S2(ll x){
     if(x<=) return mu[x];
     ll re=,i,j;
     if(m[x]) return m[x];
     for(i=;i<=x;i=j+){
         j=x/(x/i);
         re-=((j-i+)*S2(x/i))%MOD;
         re=(re+MOD)%MOD;
     }
     return m[x]=re;
 }
 ll ppow(ll a,ll b){
     ll re=;
     while(b){
         if(b&) re=re*a%MOD;
         a=a*a%MOD;b>>=;
     }
     return re%MOD;
 }
 int main(){
     init();
     n=read();K=read();L=read();R=read();
     L=(L-)/K;R=R/K;
     ll i,j;ll ans=;
     for(i=;i<=R;i=j+){
         j=R/(R/i);
         if(i<=L) j=min(j,L/(L/i));
         ans=(ans+(S2(j)-S2(i-)+MOD)%MOD*ppow(R/i-L/i,n)%MOD)%MOD;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }