二模 （12） day1

第一题：

题目大意：

求由N个1,M个0组成的排列的个数,要求在排列的任意一个前缀中,1的个数不少于0的个数。N,M<=5000。

解题过程：

1.看到N,M的范围就明确肯定不会是dp,因为起码要用二维表示状态,就算转移是O(1),也要5000*5000的时间,况且还要高精度，绝对超时。

2.于是想到可以根据Catalan数的推导方法来推出公式。

ps:Catalan数的推导方法和一些应用可以参考我之前的博文中的问题二http://www.cnblogs.com/vb4896/p/3874622.html

下面把这题的公式简单地推一遍：

首先可以考虑所有的排列数减去不符合要求的排列数就是答案：ans=C(n+m,m) - 不符合要求的排列数。

对于任意一个不符合要求的数,必定在从某一奇数位(设为pp)上第一次出现0比1多的情况。

那么假设把第[pp+1,n+m]位上的所有0变成1,所有1变成0,那么就变成了一个有m-1个1,n+1个0的排列,也就是说任意一个不符合要求的排列都可以转换成有m-1个1,n+1个0的排列。 同理任意一个有m-1个1,n+1个0的排列也可以转换成一个不符合要求的排列。  所以不符合要求的排列数也就是有m-1个1,n+1个0的排列数。

所以ans=C(n+m,m) - C(n+m,m-1)  = { (m+n)! * (n-m+1) }/ {m! * (n+1)! }.

3.推出公式之后我就傻逼的去打 高精度乘高精度+高精度乘单精度了。结果发现后面的除法 是 高精度除 高精度。。还从来木有写过。 所以又想到可以把10000(n+m<=10000)以内的所有质数(p[i]表示第i个质数)搞出来,然后对于分子分母分解质因数,分别存到2个数组里(A[i] 存分子中有多少个质因子p[i],B[i]存 分子中有多少个质因子p[i]).

然后A[i]-B[i] 就是结果中 质因子p[i]的个数,做高精度乘单精度就可以了。 貌似也不需要压位,试验了下5000,5000的数据也能半秒之内出来。 8位一压就是0.01s秒杀了。。 折腾了将近一个半小时。

---

第二题：

题目大意：

给出一个正整数n（N≤100000），求一个最小的正整数m，使得n×m的十进制表现形式中只含1和0。

解题过程：

1.没什么思路,睡了个午觉后直接打了个暴力,dfs出18位以内的01序列(m*n),找到一个最小的能被n整除的就可以了。本来以为骗了50分不错了。结果数据比较良心,竟然给全过了。。但是不知道如何科学地判断无解的情况。

2.比较严谨的算法：也是搜索n*m,从1开始拓展,在数字后面要么加0,要么加1。只要保存当前数 mod n 的值mo即可, 如果在当前数的后面加一个0,那么新的数mod n 的值 就变成 mo*10 mod n 。加1也是同样的道理。 还需要做一个hash,因为如果当前数mod n = c , 之前已经搜索到一个数 mod n 也是 c , 显然前面那个数更优(按长度拓展,前面那个数长度短),那么就不要继续搜索下去了。 所以 搜索的状态最多只有n个,如果搜不到mod n=0的数就是无解。

3.搜索的时候保存的是该节点的父亲,以及从它的父亲拓展到它是加1还是加0,那么最后就可以递归来把这个数还原回去了。数据比较弱,不用写高精度,long long 就给过了。

---

第三题：

题目大意：

在N*N的棋盘上放N个车,规定有M个位置不能放,求使得车不能相互攻击的方案数。 N≤20，M≤10

解题过程：

1.这题感觉就是为了练习容斥原理设计的,之前在NOI导刊上看了篇容斥原理的文章,凭着仅有的一点点印象还是瞎搞出来了。

2.看到M的范围比较小,所以应该从M入手. 设M个不能放的位置分别为P₁,P₂,P₃...P_M.  反过来考虑,先求出所有的方案N!,然后减去不符合要求的。

3.设P₁ 必须放,那么就有(N-1)!种方案,设P₂ 必须放,那么有(N-1)!种方案,设P_M 必须放,那么也有(N-1)!种方案。

把这些方案都减去,那么就重复减了P₁ P₂ 都放了 , P₁ P₃ 都放了...的情况,然后把这些情况加回去,又多加了P₁ P₂ P₃ 都放的情况.. 所有容斥原理的模型就出来了。。

ans=N! - P中有1个必须放的方案数 + P中有2个必须放的方案数 - P中有3个必须放的方案数 .....

+-交替即可。。  对于P中有k个必须放的方案数,只要dfs出P中选出不冲突的K个位置的方案数* (N-k)!  即可。