【BZOJ】【3907】网格

组合数学/python

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3907: 网格

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Description

某
城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0, 0)，右上角坐标为B(n, m)，其中n >= m。现在从A(0,
0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x, y)都要满足x >=
y，请问在这些前提下，到达B(n, m)有多少种走法。

Input

输入文件中仅有一行，包含两个整数n和m，表示城市街区的规模。

Output

输出文件中仅有一个整数和一个换行/回车符，表示不同的方案总数。

Sample Input

6 6

Sample Output

132

HINT

100%的数据中，1 <= m <= n <= 5 000

Source

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　　题面很容易想到Catalan数……但是5000的范围实在是有些吃不消……

　　题解：http://www.cnblogs.com/mhy12345/p/4343980.html

copy了下代码sorry……　　

　　UPD：（2015-04-02 16:53:03）

　　好吧我还是来写一下吧：

　　　　我们求不越过$y=x$这条线的方案数不是很好求，那么我们就利用补集转化的思想来求。首先所有方案的总数是$C(n+m,n)$，其中所有不合法的方案，即中途跨过了$ y=x $这条线的路径，我们都可以将跨越点之后的路径翻折一下，得到一条从(1,1)到(m,n)的路线，也就是说，所有不合法的方案数之和即为C(n+m,n-1)。容我三思QAQ，或者哪位路过的神犇指点我一下……

　　　　啊哩怎么跟我当初抄的代码不太一样= =？

 /**************************************************************
     Problem: 3907
     User: Tunix
     Language: Python
     Result: Accepted
     Time:1184 ms
     Memory:79228 kb
 ****************************************************************/

 def C(n,m):
     return fact[n]/fact[m]/fact[n-m];
 f=raw_input().split(" ");
 n=int(f[]);
 m=int(f[]);
 tot=max(n,m)*;
 fact=[];
 for i in range(,tot+):
     fact.append(fact[-]*i);
 c=n-m;
 ans=C(tot-c,tot/)-C(tot-c,tot/+);
 print ans;

　　UPD：（2015年4月19日 20:21:03）

　　Orz ykz神犇，提供了他的题解&高精C++代码：

我们假设0表示向右走，1表示向上走，那么很显然问题可以转化为：给你n个0和m个1，求出满足某个条件的01串的个数，这个条件是——对于任意一个子串s[1…i]，0的个数不小于1的个数。我们可以用补集转化的方法，所有的01串的个数为$\binom{n+m}{m}$，然后我们再考虑不合法的01串个数。我们假定现在有一个01串，它的0和1的个数分别是n和m，第一次出现不满足条件的位置是i。即s[1…i]当中，0的个数=1的个数-1，并且s[i]=1。我们把s[1…i]的所有0变成1，1变成0，这样，我们得到的新的01串，这个串当中，0和1的个数分别为n+1，m-1。我们发现，这个转化是一一对应的，也就是说，每一个不合法的01串，都对应了一个唯一的一个n+1,m-1的01串；而这个n+1,m-1的01串也正好和唯一的这个不合法串对应，满足充要性。于是我们得到了不合法的01串的个数就是$\binom{n+m}{m-1}$。然后就可以出解啦，为了避免除以0（因为有m-1）我们这么搞：$$ans=\binom{n+m}{m}-\binom{n+m}{n+1} ( \binom{n+m}{m-1}=\binom{n+m}{n+1})$$

 /**************************************************************
     Problem: 3907
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:84 ms
     Memory:944 kb
 ****************************************************************/

 #include<cstdio>
 #include<cstring>

 typedef long long LL;

 const int N=;
 const LL mod=;

 int tot=,x[N],p[N],v[N]={};
 LL a[],b[];

 LL pow(LL x,int p) {
     LL t=;for (;p;p>>=,x*=x) if (p&) t*=x;return t;
 }

 void mul(LL a[],LL y) {
     LL x=,&l=a[];
     for (int i=;i<=l;i++) {
         a[i]=a[i]*y+x;
         x=a[i]/mod;
         a[i]%=mod;
     }
     while (x) a[++l]=x%mod,x/=mod;
 }

 void dec(LL a[],LL b[]) {
     LL &l=a[];
     for (int i=;i<=l;i++) {
         if (a[i]<b[i]) a[i+]--,a[i]+=mod;
         a[i]-=b[i];
     }
     while (!a[l]) l--;
 }

 void getc(LL a[],int n,int m) {
     memset(x,,sizeof x);
     for (int i=;i<=n;i++) x[i]++;
     for (int i=;i<=m;i++) x[i]--;
     for (int i=;i<=n-m;i++) x[i]--;
     for (int i=n;i>=;i--)
     if (!v[i]) mul(a,pow(i,x[i]));
     else x[v[i]]+=x[i],x[i/v[i]]+=x[i];
 }

 void print(LL a[]) {
     int l=a[];
     printf("%lld",a[l]);
     for (int i=l-;i>=;i--) printf("%08lld",a[i]);
     printf("\n");
 }

 int main() {
     int n,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for (int i=;i<=n+m;i++) {
         if (!v[i]) p[++tot]=i;
         for (int j=,k;j<=tot,(k=p[j]*i)<=n+m;j++) {
             v[k]=p[j];
             if (i%p[j]==) break;
         }
     }
     a[]=a[]=b[]=b[]=;
     getc(a,n+m,n);
     getc(b,n+m,n+);
     dec(a,b);
     print(a);
     return ;
 }