[gym103055H]Grammy and HearthStone

题目即要求构造一个长为$2n$的序列$a_{i}$，满足$\forall 1\le i\le n$，$i$恰好出现两次，假设分别是$a_{x}=a_{y}=i(x<y)$，即要求$y-x=i$

（输出序列即对于所有$i$，依次输出其第一次出现的位置$x$即可）

考虑$S_{1}=\sum_{i=1}^{n}x$（定义与之前相同）和$S_{2}=\sum_{i=1}^{n}y$，满足$\begin{cases}S_{2}-S_{1}=\frac{n(n+1)}{2}\\S_{1}+S_{2}=n(2n+1)\end{cases}$，将两式相减即可解得$S_{1}=\frac{n(3n+1)}{4}\in Z$

因此，有解的必要条件即$n\equiv 0,1(mod\ 4)$

接下来，对$n$分类讨论，并构造对应$a_{i}$：

当$n=4k$，令$a_{i}$为以下序列即可——
$$
\{4k,4k-2,...,2\}\{4k-1\}\{2,4,...,4k\}\\\{2k-1\}\{4k-3,4k-5,...,2k+1\}\{2k-3,2k-5,...,3\}\\\{4k-1,2k-1\}\{3,5,...,2k-3\}\{1,1\}\{2k+1,...,4k-3\}
$$
（特别的，当$n=4$时前者构造不合法，可以令$a_{i}=\{1,1,3,4,2,3,2,4\}$）

当$n=4k+1$，令$a_{i}$为以下序列即可——
$$
\{4k+1\}\{4k-2,4k-4...,2\}\{4k\}\{2,4,...,4k-2\}\\\{2k+1,4k+1\}\{4k-1,4k-3,...,2k+3\}\{2k-1,2k-3,...,3\}\\\{4k,2k+1\}\{3,5,...,2k-1\}\{1,1\}\{2k+3,2k+5,...,4k-1\}
$$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 1000005
 4 int n,a[N<<1],ans[N];
 5 void add(int x){
 6     a[++a[0]]=x;
 7 }
 8 int main(){
 9     scanf("%d",&n);
10     if ((n%4==2)||(n%4==3)){
11         printf("-1");
12         return 0;
13     }
14     if (n==4){
15         printf("1 5 3 4");
16         return 0;
17     }
18     if (n%4==0){
19         int k=n/4;
20         for(int i=4*k;i>=2;i-=2)add(i);
21         add(4*k-1);
22         for(int i=2;i<=4*k;i+=2)add(i);
23         add(2*k-1);
24         for(int i=4*k-3;i>=2*k+1;i-=2)add(i);
25         for(int i=2*k-3;i>=3;i-=2)add(i);
26         add(4*k-1),add(2*k-1);
27         for(int i=3;i<=2*k-3;i+=2)add(i);
28         add(1),add(1);
29         for(int i=2*k+1;i<=4*k-3;i+=2)add(i);
30     }
31     else{
32         int k=n/4;
33         add(4*k+1);
34         for(int i=4*k-2;i>=2;i-=2)add(i);
35         add(4*k);
36         for(int i=2;i<=4*k-2;i+=2)add(i);
37         add(2*k+1),add(4*k+1);
38         for(int i=4*k-1;i>=2*k+3;i-=2)add(i);
39         for(int i=2*k-1;i>=3;i-=2)add(i);
40         add(4*k),add(2*k+1);
41         for(int i=3;i<=2*k-1;i+=2)add(i);
42         add(1),add(1);
43         for(int i=2*k+3;i<=4*k-1;i+=2)add(i);
44     }
45     for(int i=1;i<=a[0];i++)
46         if (!ans[a[i]])ans[a[i]]=i;
47     for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);
48 }