[tc13008]Egalitarianism2

考虑对于$n-1$个数$a_{i}$，函数$f(x)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(x-a_{i})^{2}}{n-1}$的最小值恰在$x=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}}{n-1}$取到（根据二次函数显然），因此题意可以理解为任选实数$b$并最小化$\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(b-a_{i})^{2}}{n-1}$（本来要求$b$为平均值）

可以暴力枚举$b$并将边权从$d$变为$(b-d)^{2}$求最小生成树，但由于$b$为实数，并不能直接枚举

（为了方便，以下约定两条边边权若相同，编号小的更小）

对于最小生成树而言，所选的边事实上仅取决于边的大小关系，考虑两条边$i$和$j$（其中$i<j$）满足$i$在$j$前面当且仅当$X\le \lfloor\frac{w_{i}+w_{j}}{2}\rfloor$，以此法即产生了$o(n^{4})$个区间，每一个区间内大小关系都相同

（每一段都是左端点为圆括号，右端点为中括号）

对于每一段，以$b$作为参数来表示边权，比较时使用区间内任意数字即可，最后即求一个二次函数区间（其实也可以忽略区间限制）最小值，即可做到$o(n^{6})$的复杂度，可以通过

（以下可能有一些口胡）

更进一步的，考虑每一次权值变化即将两条边优先级交换，且交换的两边优先级相邻（不妨假设为两边为$i$和$j$，其中交换前$i$优先级较大），此时不难证明——

如果修改最小生成树，则必然是$i$本来在最小生成树中被删除，$j$本来不在最小生成树中被加入（其余边不修改）

（证明考虑kruskal贪心的过程并分类讨论即可）

因此只需要判定能否替换即可，用按秩合并并查集维护，复杂度为$o(n^{4}\log n)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 25
 4 #define sqr(k) (k)*(k)
 5 struct fun{
 6     double a,b,c,val;
 7     fun(){
 8         a=b=c=val=0;
 9     }
10     fun(double aa,double bb,double cc,double vall){
11         a=aa,b=bb,c=cc,val=vall;
12     }
13     bool operator < (const fun &k)const{
14         return val<k.val;
15     }
16     fun operator + (const fun &k)const{
17         return fun(a+k.a,b+k.b,c+k.c,0);
18     }
19     double mn(){
20         return c-sqr(b)/(4*a);
21     }
22 }D[N],w[N][N];
23 vector<double>v;
24 int n,vis[N];
25 double ans,d[N][N];
26 fun calc(){
27     fun ans;
28     D[0]=fun();
29     for(int i=1;i<n;i++)D[i]=fun(0,0,0,1e15);
30     memset(vis,0,sizeof(vis));
31     for(int i=0;i<n;i++){
32         int k=-1;
33         for(int j=0;j<n;j++)
34             if ((!vis[j])&&((k<0)||(D[j]<D[k])))k=j;
35         vis[k]=1;
36         ans=ans+D[k];
37         for(int j=0;j<n;j++)D[j]=min(D[j],w[k][j]);
38     }
39     return ans;
40 }
41 class Egalitarianism2{
42     public:
43     double minStdev(vector<int>x,vector<int>y){
44         n=x.size();
45         for(int i=0;i<n;i++)
46             for(int j=0;j<n;j++)d[i][j]=sqrt(1LL*sqr(x[i]-x[j])+1LL*sqr(y[i]-y[j]));
47         for(int i=0;i<n;i++)
48             for(int j=i+1;j<n;j++)
49                 for(int ii=i;ii<n;ii++)
50                     for(int jj=ii+1;jj<n;jj++)
51                         if ((i<ii)||(j<jj))v.push_back((d[i][j]+d[ii][jj])/2);
52         sort(v.begin(),v.end());
53         double lst=0;
54         ans=1e15;
55         for(int i=0;i<v.size();i++)
56             if ((!i)||(v[i]!=v[i-1])){
57                 for(int j=0;j<n;j++)
58                     for(int k=0;k<n;k++)w[j][k]=fun(1,-2*d[j][k],sqr(d[j][k]),sqr(v[i]-d[j][k]));
59                 ans=min(ans,calc().mn()/(n-1));
60                 lst=v[i];
61             }
62         return sqrt(ans);
63     }
64 };