Codeforces Gym 101221G Metal Processing Plant（2-SAT）

题目链接

题意：有 \(n\) 个元素，第 \(i\) 个数与第 \(j\) 个数之间有一个权值 \(d_{i,j}\)，\(d(i,j)=d(j,i)\)。

定义函数 \(D(S)=\max\limits_{i \in S,j \in S,i \neq j}d(i,j)\)。

现在你要将 \(n\) 个元素划分为两个集合 \(A,B\)，求 \(\min{D(A)+D(B)}\)。

\(1 \leq n \leq 200\)。

第一道 ACM World Final，祭一个。

看到这种非黑即白的问题，自然可以想到 2-SAT 啦。

很显然的思路是，不妨设 \(D(A)>D(B)\)，枚举 \(D(A)\) 可能的值，二分 \(D(B)\) 的值，用 2-SAT 判定合法性，对于每个 \(d(i,j)>D(A)\)，如果 \(i \in A\)，那么 \(j \notin A\)，\(D(B)\) 也同理。

不过这样是 \(n^4 \log n\) 的，因此需要优化。

我们将每个 \((i,j)\) 看做一条边，边权为 \(d(i,j)\)，那么我们将边权从大到小排序，并顺次加边。

如果加入边权为 \(x\) 的边之后，图出现了奇数环，那么处理完 \(x\) 之后直接退出，因为我们无法对边权 \(\geq x\) 的进行黑白染色，使得同一条边两个端点颜色不同。

同理，如果加入边权为 \(x\) 的边之后，图出现了偶数环，那么这条边一定不能是 \(A\) 中边权最大的边。因为如果它是 \(A\) 中边权最大的边，那么它的两个端点颜色相同，可以看作一个点，偶数环变成了奇数环，显然是不满足条件的。

这样一来，我们最多只会加入 \(n-1\) 条树边，时间复杂度就降到了 \(n^3 \log n\) 了。

坑点：特判 \(n \leq 2\) 答案为 \(0\)，我为此不停地 WA 3，然后发现 test 3 \(n=1\)？

//Coded by tzc_wk
/*
数据不清空，爆零两行泪。
多测不读完，爆零两行泪。
边界不特判，爆零两行泪。
贪心不证明，爆零两行泪。
D P 顺序错，爆零两行泪。
大小少等号，爆零两行泪。
变量不统一，爆零两行泪。
越界不判断，爆零两行泪。
调试不注释，爆零两行泪。
溢出不 l l，爆零两行泪。
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi			first
#define se			second
#define fz(i,a,b)	for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b)	for(int i=a;i>=b;i--)
#define foreach(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define all(a)		a.begin(),a.end()
#define giveup(...) return printf(__VA_ARGS__),0;
#define fill0(a)	memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a)	memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a)	memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define fillsmall(a) memset(a,0xcf,sizeof(a))
#define mask(a)		(1ll<<(a))
#define maskx(a,x)	((a)<<(x))
#define _bit(a,x)	(((a)>>(x))&1)
#define _sz(a)		((int)(a).size())
#define filei(a)	freopen(a,"r",stdin);
#define fileo(a)	freopen(a,"w",stdout);
#define fileio(a) 	freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
#define eprintf(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define put(x)		putchar(x)
#define eoln        put('\n')
#define space		put(' ')
#define y1			y_chenxiaoyan_1
#define y0			y_chenxiaoyan_0
#define int long long
typedef pair<int,int> pii;
inline int read(){
	int x=0,neg=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){
		if(c=='-')	neg=-1;
		c=getchar();
	}
	while(isdigit(c))	x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*neg;
}
inline void print(int x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		print(abs(x));
		return;
	}
	if(x<=9)	putchar(x+'0');
	else{
		print(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}
}
inline int qpow(int x,int e,int _MOD){
	int ans=1;
	while(e){
		if(e&1)	ans=ans*x%_MOD;
		x=x*x%_MOD;
		e>>=1;
	}
	return ans;
}
struct edge{
	int u,v,w;
	edge(){/*ycxakioi*/}
	edge(int _u,int _v,int _w){
		u=_u;v=_v;w=_w;
	}
	friend bool operator <(edge a,edge b){
		return a.w<b.w;
	}
} e[40005];
int n=read(),cnt=0;
int f[405],col[405],siz[405];
inline int find(int x){
	return (f[x]==x)?x:find(f[x]);
}
inline int getc(int x){
	return (f[x]==x)?0:(getc(f[x])^col[x]);
}
vector<int> g[405];
int dfn[405],idx=0,low[405],stk[405],top,comp,bel[405],vis[405];
inline void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++idx;stk[++top]=x;vis[x]=1;
	foreach(it,g[x]){
		int y=*it;
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(vis[y]){
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		comp++;
		while(top){
			int y=stk[top--];
			vis[y]=0;
			bel[y]=comp;
			if(y==x)	break;
		}
	}
}
inline bool _2_SAT(int mn1,int mn2){
	fill0(dfn);fill0(low);fill0(stk);fill0(vis);fill0(bel);
	comp=top=idx=0;
	fz(i,0,404)	g[i].clear();
	fz(i,1,cnt){
		if(e[i].w>mn1)	g[e[i].u*2-1].push_back(e[i].v*2),g[e[i].v*2-1].push_back(e[i].u*2);
		if(e[i].w>mn2)	g[e[i].u*2].push_back(e[i].v*2-1),g[e[i].v*2].push_back(e[i].u*2-1);
	}
	fz(i,1,n*2)	if(!dfn[i])	tarjan(i);
	fz(i,1,n)	if(bel[i*2-1]==bel[i*2])	return 0;
	return 1;
}
signed main(){
	fz(i,1,n)	fz(j,i+1,n){
		int t=read();
		e[++cnt].u=i;
		e[cnt].v=j;
		e[cnt].w=t;
	}
	if(n<=2)	return puts("0"),0;
	sort(e+1,e+cnt+1);
	fz(i,1,n*2)	f[i]=i,siz[i]=1;
	int ans=INT_MAX;
	fd(i,cnt,1){
		int x=e[i].u,y=e[i].v,z=e[i].w;
		int xx=find(x),yy=find(y);
		if(xx!=yy){
			if(siz[xx]<siz[yy])	swap(x,y),swap(xx,yy);
			if(getc(x)==getc(y))	col[yy]^=1;
			f[yy]=xx;
			siz[xx]+=siz[yy];
		}
		else if(getc(x)!=getc(y))	continue;
		int l=0,r=i-1,anss=0x3f3f3f3f;
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(_2_SAT(e[i].w,e[mid].w))	anss=e[mid].w,r=mid-1;
			else						l=mid+1;
		}
		ans=min(ans,e[i].w+anss);
		if(getc(x)==getc(y))	break;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}