「题解」PA2019 Terytoria

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题目

题目链接：洛谷 P5987、LOJ 3320、官网。

题意概述

在二维平面直角坐标系上，有一个长度为 \(X\)，宽度为 \(Y\) 的地图，注意这个地图的左边界和右边界是连通的，下边界和上边界也是连通的，换言之它是个球形结构。

在这个地图里，有 \(X\times Y\) 个格子以及 \(n\) 个边平行坐标轴的矩形。你只知道每个矩形两个对顶点的坐标，请问在最好情况下，被所有 \(n\) 个矩形都覆盖住的格子数量有多少？

\(1\leq n\leq 5\times 10^5\)，\(2\leq X,Y\leq 10^9\)。

题解

几何性质

首先不难发现，\(x,y\) 两维是独立的。

考虑一个矩形的选取情况，只有 \(00,01,10,11\) 四种情况。

然而，两个状态 \(0,1\) 相乘即可得到上面的所有状态，因此我们可以两维分开做。

枚举答案区间

考虑对于一维的情况，一个点对 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 仅对应两种可能 \([x_1,x_2]\) 或者 \([0,x_1)\cup(x_2,x]\)。

这两个集合显然不交，因此，我们可以考虑枚举一个区间 \([i,i+1]\)，那么可以轻易地确定每个区间的选择方案，因而求出最终的长度。

这个可以离散化后可以用扫描线维护，用线段树维护：

• 查询操作：区间最大值及个数；
• 修改操作：区间加法。

时间复杂度为 \(\Theta(n\log_2n)\)，可以通过本题。

随机算法有前途

我们想到一个简单的方案，如果区间数量 \(\leq 64\)，那么我们对于第 \(i\) 个区间 \([x_1,x_2]\) 内的数，都异或上 \(2^i\)，那么操作结束之后，所有异或值相同的区间对应的集合选择方案必然相同，换句话说，它们是一块的。

因此，如果区间数量 \(\leq 64\)，我们只需要求出相同异或值的出现次数的最大值即可。

可是这个题目显然不会有上面那么紧的约束，我们考虑放松约束。

具体地，我们不再强求异或的值为 \(2^i\)，而是变成一个随机非负整数 \(\in[0,2^{64})\)。统计答案的方法与之前相同，时间复杂度为 \(\Theta(n\log_2n)\)，可是正确性呢？

我们的答案出错，是因为有两个不该在同一块的位置经过异或后出现了相同的值，那么我们考虑每一位上异或值相同的概率均为 \(\frac{1}{2}\)，那么这个算法正确的概率根据生日悖论为：

\[\prod_{k=0}^{2n-1}(1-\frac{k}{2^{64}})^2
\]

这个数字经过计算可以知道非常接近 \(1\)，正确性得到保证。

参考程序

线段树的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(void){
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline int max(reg int a,reg int b){
	return a>b?a:b;
}

inline int min(reg int a,reg int b){
	return a<b?a:b;
}

const int MAXN=5e5+5;

struct Interval{
	int l,r;
	inline Interval(reg int l=0,reg int r=0):l(min(l,r)),r(max(l,r)){
		return;
	}
};

struct Event{
	int x,id;
	inline Event(reg int x=0,reg int id=0):x(x),id(id){
		return;
	}
	inline bool operator<(const Event& a)const{
		return x<a.x;
	}
};

int n,X,Y;
Interval a[MAXN];
Interval b[MAXN];
vector<int> V;

namespace SegmentTree{
	#define lson ( (k) << 1 )
	#define rson ( (k) << 1 | 1 )
	#define mid ( ( (l) + (r) ) >> 1 )
	struct Node{
		int Max,cnt;
		int tAdd;
		#define Max(x) unit[(x)].Max
		#define cnt(x) unit[(x)].cnt
		#define tAdd(x) unit[(x)].tAdd
	};
	Node unit[MAXN<<3];
	inline void pushup(reg int k){
		if(Max(lson)>Max(rson))
			Max(k)=Max(lson),cnt(k)=cnt(lson);
		else if(Max(lson)==Max(rson))
			Max(k)=Max(lson),cnt(k)=cnt(lson)+cnt(rson);
		else
			Max(k)=Max(rson),cnt(k)=cnt(rson);
		return;
	}
	inline void build(reg int k,reg int l,reg int r){
		tAdd(k)=0;
		if(l==r){
			Max(k)=0,cnt(k)=V[l+1]-V[l];
			return;
		}
		build(lson,l,mid),build(rson,mid+1,r);
		pushup(k);
		return;
	}
	inline void add(reg int k,reg int val){
		Max(k)+=val,tAdd(k)+=val;
		return;
	}
	inline void pushdown(reg int k){
		if(tAdd(k)){
			add(lson,tAdd(k)),add(rson,tAdd(k));
			tAdd(k)=0;
		}
		return;
	}
	inline void update(reg int k,reg int l,reg int r,reg int L,reg int R,reg int val){
		if(L<=l&&r<=R){
			add(k,val);
			return;
		}
		pushdown(k);
		if(L<=mid)
			update(lson,l,mid,L,R,val);
		if(R>mid)
			update(rson,mid+1,r,L,R,val);
		pushup(k);
		return;
	}
	#undef lson
	#undef rson
	#undef mid
	#undef Max
	#undef cnt
	#undef tAdd
}

inline int solve(reg int n,reg Interval a[],int X){
	V.clear();
	V.reserve((n+1)<<1);
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		V.push_back(a[i].l);
		V.push_back(a[i].r);
	}
	V.push_back(0),V.push_back(X);
	sort(V.begin(),V.end()),V.erase(unique(V.begin(),V.end()),V.end());
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		a[i].l=lower_bound(V.begin(),V.end(),a[i].l)-V.begin();
		a[i].r=lower_bound(V.begin(),V.end(),a[i].r)-V.begin();
	}
	X=lower_bound(V.begin(),V.end(),X)-V.begin();
	reg int s=V.size()-1;
	vector<Event> E;
	E.reserve(n<<1);
	SegmentTree::build(1,0,s-1);
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		E.push_back(Event(a[i].l,i));
		E.push_back(Event(a[i].r,-i));
		SegmentTree::update(1,0,s-1,0,s-1,1);
		SegmentTree::update(1,0,s-1,a[i].l,a[i].r-1,-1);
	}
	sort(E.begin(),E.end());
	reg int ptr=0;
	reg int res=0;
	for(reg int i=0;i<s;++i){
		while(ptr<(int)E.size()&&E[ptr].x<=i){
			reg int id=abs(E[ptr].id);
			if(E[ptr].id>0){
				SegmentTree::update(1,0,s-1,0,s-1,-1);
				SegmentTree::update(1,0,s-1,a[id].l,a[id].r-1,2);
			}
			else{
				SegmentTree::update(1,0,s-1,0,s-1,1);
				SegmentTree::update(1,0,s-1,a[id].l,a[id].r-1,-2);
			}
			++ptr;
		}
		res=max(res,SegmentTree::unit[1].cnt);
	}
	return res;
}

int main(void){
	n=read(),X=read(),Y=read();
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		static int x1,y1,x2,y2;
		x1=read(),y1=read(),x2=read(),y2=read();
		a[i]=Interval(x1,x2);
		b[i]=Interval(y1,y2);
	}
	reg int ansx=solve(n,a,X);
	reg int ansy=solve(n,b,Y);
	reg ll ans=1ll*ansx*ansy;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

随机化算法的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(void){
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline int max(reg int a,reg int b){
	return a>b?a:b;
}

inline int min(reg int a,reg int b){
	return a<b?a:b;
}

const int MAXN=5e5+5;

struct Interval{
	int l,r;
	inline Interval(reg int l=0,reg int r=0):l(min(l,r)),r(max(l,r)){
		return;
	}
};

int n,X,Y;
Interval a[MAXN];
Interval b[MAXN];

struct Event{
	int x;
	ull val;
	inline Event(reg int x=0,reg ull val=0):x(x),val(val){
		return;
	}
	inline bool operator<(const Event& a)const{
		return x<a.x;
	}
};

struct Segment{
	int len;
	ull val;
	inline Segment(reg int len=0,reg ull val=0):len(len),val(val){
		return;
	}
	inline bool operator<(const Segment& a)const{
		return val<a.val;
	}
};

mt19937_64 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

inline int solve(reg int n,reg Interval a[],reg int X){
	vector<Event> E;
	E.reserve((n+1)<<1);
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		reg ull tag=rng();
		E.push_back(Event(a[i].l,tag));
		E.push_back(Event(a[i].r,tag));
	}
	E.push_back(Event(0,0));
	E.push_back(Event(X,0));
	sort(E.begin(),E.end());
	vector<Segment> V;
	reg ull val=0;
	for(reg int i=0,siz=E.size();i<siz-1;++i){
		val^=E[i].val;
		if(E[i].x<E[i+1].x)
			V.push_back(Segment(E[i+1].x-E[i].x,val));
	}
	sort(V.begin(),V.end());
	reg ull las=0;
	reg int sum=0;
	reg int res=0;
	for(reg int i=0,siz=V.size();i<siz;++i){
		if(las==V[i].val)
			sum+=V[i].len;
		else
			las=V[i].val,sum=V[i].len;
		res=max(res,sum);
	}
	return res;
}

int main(void){
	n=read(),X=read(),Y=read();
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		static int x1,y1,x2,y2;
		x1=read(),y1=read(),x2=read(),y2=read();
		a[i]=Interval(x1,x2);
		b[i]=Interval(y1,y2);
	}
	reg int ansx=solve(n,a,X);
	reg int ansy=solve(n,b,Y);
	reg ll ans=1ll*ansx*ansy;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}