[HNOI 2012]集合选数

Description

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对于任意一个正整数 \(n\) ，求出集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 的满足约束条件“若 \(x\) 在该子集中，则 \(2x\) 和 \(3x\) 不能在该子集中”的子集的个数。

\(n\leq 100000\)

Solution

容易发现对于每一个与 \(2,3\) 互质的数 \(k\) ，我们构造一个 \(p\times q\) 的矩阵，该矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列表示数值 \(k\cdot 2^i3^j\) 。由于数值要 \(\leq n\) ，所以这个矩阵不是完整的。

显然对于这个矩阵，我选取的数不能相邻，由于 \(p,q\) 很小，可以用状压 \(DP\) 实现，来计算总方案数。

同样对于每个这样的 \(k\) 。可以随意组合所以将方案数乘起来就好了。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int yzh = 1000000001, N = 200000;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

int n, ans = 1, bin[20], f[20][N+5];

void work() {
    read(n); bin[0] = 1; for (int i = 1; i <= 19; i++) bin[i] = bin[i-1]<<1;
    for (int id = 1; id <= n; id++)
    if (id%2 && id%3) {
        int last = 0, now, tmp = id, k; f[0][0] = 1;
        for (k = 1; tmp <= n; k++) {
        for (now = 0; now <= 19; now++) if (tmp*bin[now] > n) break;
        for (int i = 0; i < bin[now]; i++)
            if ((i&(i>>1)) == 0) {
            f[k][i] = 0;
            for (int j = 0; j < bin[last]; j++)
                if ((i&j) == 0 && (j&(j>>1)) == 0)
                f[k][i] = (f[k][i]+f[k-1][j])%yzh;
            }
        last = now, tmp *= 3;
        }
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < bin[last]; i++) if ((i&(i>>1)) == 0) t = (t+f[k-1][i])%yzh;
        ans = 1ll*ans*t%yzh;
    }
    writeln(ans);
}
int main() {
    work(); return 0;
}