[Uva10294]Arif in Dhaka

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标签： 置换 Burnside引理

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题意

有很多个珠子穿成环形首饰，手镯可以翻转和旋转，项链只能旋转。（翻转过的手镯相同，而项链不同）

有n个珠子，k种颜色，输出不同的项链和手镯的个数。

题解

• 先考虑旋转的置换：
  
  假如旋转i颗珠子，那么显然产生的循环节个数为gcd(i,n)，那么就可以做了。

• 考虑翻转的置换：
  
  首先可以知道，如果先旋转再翻转，肯定可以找到某一种翻转的置换与之等价。

  那么假如珠子的个数为奇数，可以得到（n/2）个长度为2的循环，一个长度为1的循环。
  
  假如是偶数，那么还需要分情况讨论：

  • 如果对称轴不穿过任一珠子，那么会分成（n/2）个长度为2的循环；

  • 如果穿过珠子，就会分成（n/2-1）个长度为2的循环和2个长度为1的循环；

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
    int sum=0,p=1;char ch=getchar();
    while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
    if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
    return sum*p;
}

const int maxn=120;

int n,t;
ll power[maxn];

void doing()
{
	ll A=0,B=0;
	power[0]=1;
	REP(i,1,n)power[i]=power[i-1]*t;
	REP(i,1,n)A+=power[__gcd(i,n)];
	if(n & 1)B=n*power[n/2+1];
	else B=n/2*(power[n/2]+power[n/2+1]);
	cout<<A/n<<" "<<(A+B)/2/n<<endl;
}

int main()
{
	while(scanf("%d%d",&n,&t)==2)
	{
		doing();
	}

    return 0;
}