Wannafly Winter Camp 2020 Day 5C Self-Adjusting Segment Tree - 区间dp,线段树

给定 \(m\) 个询问，每个询问是一个区间 \([l,r]\)，你需要通过自由地设定每个节点的 \(mid\)，设计一种“自适应线段树”，使得在这个线段树上跑这 \(m\) 个区间询问时，需要访问节点的次数最少。

Solution

对于询问 \([ql,qr]\) 和结点 \([l,r]\)

• 如果 \([ql,qr]\) 与 \([l,r]\) 相交但不包含，贡献为 \(1\)
• 如果 \([ql,qr]\) 包含 \([l,r]\)
  • 如果 \(l=r\)，则贡献 \(1\)
  • 如果 \(l\neq r\)，则贡献 \(-1\) （将两个合并为一个，省了一次）

这样一来，我们需要考虑的内容就与树的结构无关，每个结点对应的贡献只和它自身的范围有关

我们可以预处理 \(w[i][j]\) 表示 \([i,j]\) 这个结点产生的贡献，这个贡献可以用前缀和预处理出来

• 具体地，在 \(i\neq j\) 时，\([i,j]\) 对于任意 \([1\dots j,i \dots n]-[i\dots t,t\dots j]\)都产生了 \(1\) 的贡献，对任意 \([i\dots t,t\dots j]\) 都产生了 \(-1\) 的贡献
• 而在 \(i=j\) 时，产生 \(1\) 的贡献

设 \(f[i][j]\) 表示处理掉 \([i,j]\) 这段区间的最小答案，那么

\[f[i][j]=\min_k (f[i][k]+f[k+1][j]) + w[i][j]
\]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1005;

int n,m,t1,t2,w[N][N],f[N][N],x[N];

void modify(int i,int j,int k,int l,int v) {
    w[i][k]+=v;
    w[i][l+1]-=v;
    w[j+1][k]-=v;
    w[j+1][l+1]+=v;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>t1>>t2;
        modify(1,t2,t1,n,1);
        modify(t1,t2,t1,t2,-2);
        x[t1]+=2; x[t2+1]-=2;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]+=x[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            w[i][j]+=w[i-1][j]+w[i][j-1]-w[i-1][j-1];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) w[i][i]+=x[i], f[i][i]=w[i][i];
    for(int l=2;l<=n;l++) {
        for(int i=1;i+l-1<=n;i++) {
            int j=i+l-1;
            f[i][j]=1e14;
            for(int k=i;k<j;k++) {
                f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j],f[i][j]);
            }
            f[i][j]+=w[i][j];
        }
    }
    cout<<f[1][n];
}