2019 IEEEXtreme 13.0 题解记录

比赛时间 2019.10.19 8:00 - 2019.10.20 8:00

比赛网站 https://csacademy.com/ieeextreme13

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// 连续24小时做题真的是极限体验

// 刚比完躺了醒来就会做压轴题了，吐血 = =

Alfa Pool

题目大意

有一种比赛的计分规则为：相邻得分下一次将加倍，两次连续不得分则终止比赛，每次从1开始得分。计算有多少种方式使总分为B， B = 5 的全部情况如下表。询问包含 N 组，每次求总分为 \(B_i\) 的方案数对 1e9+7 取模的结果。

1 X 1 X 1 X 1 X 1 X X

X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X X

1 2 X 1 X 1 X X

X 1 2 X 1 X 1 X X

1 X 1 2 X 1 X X

X 1 X 1 2 X 1 X X

1 X 1 X 1 2 X X

X 1 X 1 X 1 2 X X

数据范围

• \(1≤N≤10^4\)
• \(0 \leq B_i≤10^5\)

 

解题思路

分别尝试直接爆搜，分块爆搜（每一块得分为 \(2^k -1\)） 都 TLE ，只通过了一组测试。

由于答案没有递推性质，打表找不出规律，队友通过OEIS大法找到了该问题的数列，但求法太复杂，遂放弃。

注意到 B 不超过 1e5，最大的一部分得分为 \(2^{16} - 1=65535\)，那么全部能选的分数只有 16 种可能。

考虑设 dp[n][k] ： 总得分为 n 最后一部分得分为 \(2^k-1\) 的方案数（1<=k<=16)，那么就可以写出状态转移方程了。

const int p[17] = {0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047,4095,8191,16383,32767,65535};
// Ans[n][0] : 总得分为 n 的全部方案数
Ans[i][0] += Ans[i][j] (1<=j<=16)
Ans[i+p[j]][j] += Ans[i][0] (1<=j<=16)
// 答案即为 2*Ans[B][0]

 

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
const int p[17] = {0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047,4095,8191,16383,32767,65535};

int Ans[100010][17];
// Ans[n][0] : ans[n]
void init() {
    Ans[0][0] = 1;
    for(int i=0;i<=100000;i++) {
        for(int j=1;j<=16;j++) {
            Ans[i][0] = (Ans[i][0] + Ans[i][j]) % mod;
        }
        for(int j=1;j<=16;j++) {
            if(i+p[j]<=100000)
                Ans[i+p[j]][j] = (Ans[i+p[j]][j] + Ans[i][0]) % mod;
        }
    }
}
int main() {
    init();
    int n; cin>>n;
    while(n--) {
        int B;
        scanf("%d", &B);
        if(B==0) printf("1\n");
        else
            printf("%d\n", 2*Ans[B][0]%mod);
    }
    return 0;
}

 

Ranged Alfa Pool

该题与上一题为最后两小时出的压轴题，题目背景一致，条件改为求得分在一个区间段内的方案数。同时 \(B_i\) 加强到 \(10^6\) 上限，时限 2s，能够直接才用上题思路，预处理前缀和即可。

 

Googolplex

题目大意

已知 \(googolplex = 10^{10^{100}}\) ， 给定 X，Y，求最小的 \(t = (X^{googolplex+T}) \mod 10^Y\) 。

其中

• \(1≤N≤20\)
• \(1 \leq X \leq 10^8\)
• \(1 \leq Y \leq 9\)
• \(0 \leq T \leq 86399\)

 

解题思路

显然利用欧拉降幂公式直接算，枚举 T 找到最小值。

坑点：取余过程中会出现 0，那么 \(a ^ 0 = 1\)则会出现错误，本意为求 \(a ^ {phi(p)}\) 。

 

AC代码

// 幸亏没有罚时，经历了一路 TLE - TLE - … - WA - WA … - AC 的艰难debug历程，数论不好我的锅 T_T

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll base[10] = {1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};
ll expp[10] = {2,5,40,400,4000,40000,400000,4000000,40000000,400000000};

ll qpow(ll a, ll n, ll p) {
	ll res = 1;
	while(n) {
		if(n&1) res = res * a % p;
		a = a*a % p;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
int main() {
	int t; cin>>t;
	while(t--) {
		ll X, Y;
		scanf("%lld %lld", &X, &Y);
		ll a = qpow(X, expp[Y], base[Y]), b = 1;
		Y = base[Y];
		ll ans = 2*Y;
		for(int T=0;T<=86399;++T) {
			ans = min(ans, a*b%Y);
			b = (b*X)%Y;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
    return 0;
}
/*
// 初始版本正确写法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll base[10] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000};

ll qpow(ll a, ll n, ll p) {
	ll res = 1;
	while(n) {
		if(n&1) res = res * a % p;
		a = a*a % p;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

ll phi(ll x) {
	ll res = x;
	for(ll i=2;i*i<=x;i++) {
		if(x%i==0) {
			res = res/i*(i-1);
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) res = res/x *(x-1);
	return res;
}

ll cal(ll x, ll p) {
	ll ph1 = phi(p);
	ll ph2 = phi(ph1);
	ll ten_100 = qpow(10, 100, ph2);
	if(ten_100==0) ten_100 += ph2;			// 不写就会WA!!!

	ll ten_ten_100 = qpow(10, ten_100, ph1);
	if(ten_ten_100==0) ten_ten_100 += ph1; 	// 不写就会WA!!!
	return qpow(x, ten_ten_100, p);
}

int main() {
	int t; cin>>t;
	while(t--) {
		ll X, Y;
		scanf("%lld %lld", &X, &Y);
		Y = base[Y];

		ll a = cal(X, Y), b=1;
		ll ans = 2*Y;
		for(ll T=0;T<=86399;T++) {
			// b = qpow(X, T, Y); TLE
			ans = min(ans, a*b%Y);
			b = b*X % Y;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
    return 0;
}
*/

 

Impact Factor 影响因子