通过例子进阶学习C++（六）你真的能写出约瑟夫环么

本文是通过例子学习C++的第六篇，通过这个例子可以快速入门c++相关的语法。

1.问题描述

n 个人围坐在一个圆桌周围，现在从第 s 个人开始报数，数到第 **m **个人，让他出局；然后从出局的下一个人重新开始报数，数到第 m 个人，再让他出局......,如此反复直到所有人全部出局为止。

2.问题分析及用数组求解

约瑟夫环是经典的算法问题，如同“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，该问题每个人都有不同的解答。常见的有：数组；单向循环链表；静态链表；双向链表；队列；递推公式 ......

首先简化问题，从s=1开始数，通过数组实现需要：

​ 数组 bool a[1000]，可能会浪费了大量的存储空间；

​ 变量 t 从s=1开始数，指示当前数组的位置；

​ 变量 f 记录出局人数；

​ 变量 s 从1到m；

整个过程一个do-while循环即可实现，但理解起来却是非常“拗口”。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,s,f,t;
bool a[1000];
int main()
{
    cin>>n>>m;		//共n人，从1开始数，数到m出局
    for (int i=1;i<=n;++i){
    	a[i]=false;
	}

	t=0;//从数组a的a[1]开始...记录数组a的第t个位置
	f=0;//记录出局人数
	s=0;//从1数到m，然后再从1数到m...
   do
   {
	    ++t;
	 	if (t==n+1) t=1;	//数到最后一个后，将t指向第一个
	 	if (a[t]==false) ++s;	//第t个位置上有人则报数
	 	if (s==m) 		//当前报的数是m
	 	{
	        s=0;		//计数器清零
	 	    cout<<t<<" ";	//出局人的编号
	 	    a[t]=true;		//设置该位置已出局
	 	    f++;	 	//出局的人数加一
	    }
    } while(f!=n);		//所有的人都出局为止
 return 0;
}

程序运行效果如下图：

3.数组方式求解改进

下面，我们将s调整为键盘输入，即从第s个人开始报数，实现代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,s,f,t;
bool a[1000];
int main()
{
    cin>>n>>t>>m;		//共n人，从t开始数，数到m出局
    cout<<endl;
    for (int i=1;i<=n;++i){
    	a[i]=false;
	}

	t = t -1;
	f=0;//记录出局人数
	s=0;//从1数到m，然后再从1数到m...
   do
   {
	    ++t;
	 	if (t==n+1) t=1;	//数到最后一个后，将t指向第一个
	 	if (a[t]==false) ++s;	//第t个位置上有人则报数
	 	if (s==m) 		//当前报的数是m
	 	{
	        s=0;		//计数器清零
	 	    cout<<t<<" ";	//出局人的编号
	 	    a[t]=true;		//设置该位置已出局
	 	    f++;	 	//出局的人数加一
	    }
    } while(f!=n);		//所有的人都出局为止
 return 0;
}

程序运行效果如下图：

4.静态链表实现约瑟夫环

静态链表，顾名思义就是用数组模拟链表。为了程序的可读性，特用一个函数表示约瑟夫环求解问题，调用的时候，只需要传入n，s，m即可。由于数组的长度n是动态生成的，故通过指针来生成数组。

实现代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

//约瑟夫环问题
void Josephus(int n,int s, int m)
{
	cout<<n<<" "<<s<<" "<<m<<endl;
	int i,j,k;
	int *next= new int[n];
	//初始化静态链表
	for(i=0;i<n-1;++i){
		next[i] = i+1;
	}
	next[n-1] = 0;

    //k初始化为s的前一个位置,数组下标从0开始
	if(s==1){
		k = n-1;
	}else{
		k = s-2;
	}

	for(i=1;i<=n;++i){
		//找到出局人的前驱
		for(j=1;j<m;++j){
			k=next[k];
		}
		cout<<next[k]+1<<" ";//数组下标从0开始，故需要+1
		//数到m的人出列，删除该元素
		next[k] = next[next[k]];
	}
}
int main(){
	Josephus(9,2,5);
	return 0;
}

程序运行后效果如下：

5.总结

本文中通过数组、静态链表实现了约瑟夫环。数组方式实现，各个元素之间的“线性关系”未在数据结构中体现，需要通过变量t、f、s来分别指示当前数组元素的位置、出局人数、计数1-m直到所有元素都“出局”为止。类似的，通过队列实现，跟数组实现逻辑上差不多。区别在于数据结构不同，但算法一样。

静态链表方式实现，各个元素之间的“线性关系”通过next指示了，只需要k遍历即可，理解起来更加直观。类似的，通过单向循环链表、双向链表实现跟静态链表实现逻辑上差不多。区别在于数据结构不同，但算法一样。

至于通过递推公式实现，从“计算机”角度看，一般难以“想到”该方法。

通过该例子，可以学习：

• 指针；
• 函数定义、调用；
• 通过优化求解约瑟夫环，加深问题的理解。

本文从构思到完成，可谓是耗费了大量的心血。

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