「学习笔记」 FHQ Treap

FHQ Treap

FHQ Treap （%%%发明者范浩强年年NOI金牌）是一种神奇的数据结构，也叫非旋Treap，它不像Treap zig zag搞不清楚（所以叫非旋嘛），也不像Splay完全看不懂，而且它能完成Treap与Splay能完成的所有事，代码短，理解也容易。

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基本操作

FHQ Treap和Treap很像，都是给每个节点一个随机的权值，使它满足堆的性质。建议先了解Treap（没必要实现，懂得原理即可）。不过，如果有两个节点值相同，FHQ Treap不会用一个数组cnt记录个数，而是直接再开一个节点。

FHQ的基本操作只有两个：Split与Merge。

Split表示把一棵树分成两棵，Merge表示把一棵树合并成一棵。

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变量&函数约定

int L[MAXN], R[MAXN], sz[MAXN], rk[MAXN], val[MAXN], tot;
int root;

int New( int v ){ return val[++tot] = v, rk[tot] = rand(), L[tot] = R[tot] = 0, sz[tot] = 1, tot; }

#define Updata(x) sz[x] = sz[L[x]] + sz[R[x]] + 1

没写成结构体，没写成指针。

\(L[i]\)表示\(i\)的左儿子，\(R[i]\)表示\(i\)的右儿子，\(sz[i]\)表示以\(i\)为根的子树包含的节点数，\(rk[i]\)表示为了保持平衡随机赋予的权值，\(val[i]\)表示该节点保存的值，\(tot\)表示节点数，\(root\)表示当前的根节点。

\(New(v)\)表示新建一个值为\(v\)的节点（可以看成一棵只有一个节点平衡树）

\(Updata(x)\)表示更新节点\(x\)的\(sz\)

提醒：这里“值”与“权值”是不一样的，“值”表示节点保存的值，“权值“仅仅用于维持平衡，注意区分

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Split

怎么分割呢？

常见的分割方法有两种，一种是按值分，一种是按排名分（实现差不多，这里只讲按值分）。

先来看看定义。

void Split( int c, int k, int &x, int &y );

c表示当前要分割的树的根节点，并且把值\(\le k\)的节点分割出来，构成一棵树，把\(x\)赋为根节点，其他节点另外构成一棵树，把\(y\)赋为其根节点。\(x\)、\(y\)用引用(&)更方便处理。

对于当前的树，如果根节点\(c\)的值\(\le k\)，\(c\)的左子树也全部\(\le k\)，所以我们可以把\(x\)赋为\(c\)，保留左子树，将右子树\(\le k\)的部分分割出来作为\(x\)的右子树。剩下的部分自然也就是在\(> k\)的部分。\(>k\)的情况同理。具体我们用递归实现。

void Split( int c, int k, int &x, int &y ){
	if ( c == 0 ){ x = y = 0; return; }//如果当前处理的树为空，分出的两个子树当然也为空，所以直接赋值返回。
	if ( val[c] <= k ) x = c, Split( R[c], k, R[x], y );//如果根节点值小于等于k，把x赋为c，继续处理右子树，并把小于等于k的部分分到x的右子树，其他分到y
	else y = c, Split( L[c], k, x, L[y] );
	Updata(c);//别忘了更新sz
}

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Merge

上面分割的操作不会改变堆的性质与二叉查找树的性质，但是在合并的时候要注意保持堆的性质。

void Merge( int &c, int x, int y );

表示把以\(x\)和\(y\)为根节点的树合并，将\(c\)赋为根节点。

注意：上面分割时x的所有节点的值都小于y的，合并时也要注意x的所有节点小于等于y，否则会出错

由于\(x\)与\(y\)的权值在两颗树中是最大的，所以合并后的树根节点不是\(x\)就是\(y\)。所以比较\(x\)与\(y\)的权值就可以判断谁为根节点。

假设以\(x\)为根。因为保证\(x\)的所有节点的值都小于等于\(y\)的，所以\(y\)肯定会合并在\(x\)的右子树。所以，我们不用动\(x\)的左子树，合并\(x\)的右子树与\(y\)作为\(x\)的右子树。\(y\)为根时同理。这样，就巧妙完成了同时维护堆的性质与二叉查找树的性质。

我们还是用递归。

void Merge( int &c, int x, int y ){
	if ( !x || !y ){ c = x | y; return; }
	if ( rk[x] >= rk[y] ) c = x, Merge( R[x], R[c], y );
	else c = y, Merge( L[y], x, L[c] );
	Updata(c);
}

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我刚开始也理解不了这两种操作。主要瓶颈在难以想象。其实可以看做只处理当前的，未处理的留到下一步，反正操作方法都一样。

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剩下的都可以用这两种操作实现。

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插入操作

直接把它分成\(\le v\)的树和\(> v\)的树，将新建的节点与\(\le v\)的树合并，再与\(>y\)树合并即可。

//opt 1
void Ins( int v ){
	int x, y, z(New(v));
	Split( root, v, x, y );
	Merge( x, x, z );
	Merge( root, x, y );
}

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删除操作

分成\(\le k\)和\(> k\)两颗树，再分成\(<k\)、\(=k\)、\(> k\)三棵树，将\(=k\)左右子树合并，相当于删去\(=k\)的一个节点，然后将三棵树重新合并即可。

// opt 2
void Del( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v, x, y );
	Split( x, v - 1, x, z );
	Merge( z, L[z], R[z] );
	Merge( x, x, z );
	Merge( root, x, y );
}

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查询排名

其实可以用while循环，，，但是，，，我，，，懒，，，所，，，以，，，直，，，接，，，，，，，

//opt 3
int GetRankByVal( int v ){
	int x, y, t;
	Split( root, v - 1, x, y );
	t = sz[x];
	Merge( root, x, y );
	return t + 1;
}

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查询值

这真的不能用Split和Merge偷懒了，，，所以乖乖写个while吧~

技术含量不高，自行理解。

//opt 4
int GetValByRank( int rk ){
	int c(root);
	while( c ){
		if ( sz[L[c]] + 1 == rk ) return val[c];
		else if ( sz[L[c]] >= rk ) c = L[c];
		else rk -= 1 + sz[L[c]], c = R[c];
	}
	return -1;//题目没要求。。。只是为了自己查错
}

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查询前缀

分成两颗树\(<v\)与\(\ge v\)，在\(<v\)树中找最大值即可。

//opt 5
int GetPre( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v - 1, x, y );
	z = x;
	while( R[z] ) z = R[z];
	Merge( root, x, y );
	return val[z];
}

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查询后缀

与查询前缀同理。

//opt 6
int GetNxt( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v, x, y );
	z = y;
	while( L[z] ) z = L[z];
	Merge( root, x, y );
	return val[z];
}

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完整代码

洛谷P3369 【模板】普通平衡树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005

int L[MAXN], R[MAXN], sz[MAXN], rk[MAXN], val[MAXN], tot;
int root;

int New( int v ){ return val[++tot] = v, rk[tot] = rand(), L[tot] = R[tot] = 0, sz[tot] = 1, tot; }
#define Updata(x) sz[x] = sz[L[x]] + sz[R[x]] + 1

void Split( int c, int k, int &x, int &y ){
	if ( c == 0 ){ x = y = 0; return; }
	if ( val[c] <= k ) x = c, Split( R[c], k, R[x], y );
	else y = c, Split( L[c], k, x, L[y] );
	Updata(c);
}

void Merge( int &c, int x, int y ){
	if ( !x || !y ){ c = x | y; return; }
	if ( rk[x] >= rk[y] ) c = x, Merge( R[x], R[c], y );
	else c = y, Merge( L[y], x, L[c] );
	Updata(c);
}
//opt 1
void Ins( int v ){
	int x, y, z(New(v));
	Split( root, v, x, y );
	Merge( x, x, z );
	Merge( root, x, y );
}
// opt 2
void Del( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v, x, y );
	Split( x, v - 1, x, z );
	Merge( z, L[z], R[z] );
	Merge( x, x, z );
	Merge( root, x, y );
}
//opt 3
int GetRankByVal( int v ){
	int x, y, t;
	Split( root, v - 1, x, y );
	t = sz[x];
	Merge( root, x, y );
	return t + 1;
}
//opt 4
int GetValByRank( int rk ){
	int c(root);
	while( c ){
		if ( sz[L[c]] + 1 == rk ) return val[c];
		else if ( sz[L[c]] >= rk ) c = L[c];
		else rk -= 1 + sz[L[c]], c = R[c];
	}
	return -1;
}
//opt 5
int GetPre( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v - 1, x, y );
	z = x;
	while( R[z] ) z = R[z];
	Merge( root, x, y );
	return val[z];
}
//opt 6
int GetNxt( int v ){
	int x, y, z;
	Split( root, v, x, y );
	z = y;
	while( L[z] ) z = L[z];
	Merge( root, x, y );
	return val[z];
}

int T;

int main(){
	srand(time(0));//随机数种子别忘了
	root = New(INT_MAX);//虚节点，避免一个节点都没有不方便合并。注意要用一个很大的数，查询排名时就不用-1
	scanf( "%d", &T );
	while( T-- ){
		int opt, x;
		scanf( "%d%d", &opt, &x );
		switch( opt ){
			case 1: Ins(x); break;
			case 2: Del(x); break;
			case 3: printf( "%d\n", GetRankByVal(x) ); break;
			case 4: printf( "%d\n", GetValByRank(x) ); break;
			case 5: printf( "%d\n", GetPre(x) ); break;
			case 6: printf( "%d\n", GetNxt(x) ); break;
		}
	}
	return 0;
}

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FHQ Treap还可以资瓷可持久化~比Treap、Splay好用多啦