[学习笔记]Cayley-Hilmiton

Cayley–Hamilton theorem - Wikipedia

其实不是理解很透彻，，，先写上

简而言之：

是一个知道递推式，快速求第n项的方法

k比较小的时候可以用矩阵乘法

k是2000，n是1e18呢？

思想：求出开始的k项的每一项对第n项的贡献

特征多项式，，

fibonacci：

f[n]=f[n-1]+f[n-2]

x^2=x+1

推广：

f[n]=af[n-1]+bf[n-2]

x^2=ax+b*1

再推广：

f[n]=a1f[n-1]+a2f[n-2]+...+akf[n-k]

x^k=a1x^(k-1)+...+ak

特征多项式就是左边移动过去：x^2-x-1=0

其实本质是：

x是转移矩阵。

必然有x^2-x-1=0成立

具体的证明以及用法

$B*A^n=F_n$

$B*A^{n-1}=F_{n-1}$

...

$B*A^{n-k}=F_{n-k}$

如果有：$F_n=\sum_{i=1}^k ai*F_{n-i}$

那么可以把第一个式子减去后面k个等式的乘上$a_i$的和得到：

$B*(A^n-a_{1}A^{n-1}-.....-a_{k}A^{n-k})=0$

必然有：$(A^n-a_{1}A^{n-1}-.....-a_{k}A^{n-k})=0$

不妨用x来代替A

$x^{k}-\sum_{i=0}^{k-1} a_0*x^{k-1-i}=0$

对于$x^n$，一定可以写成：$x^n=(x^{k}-\sum_{i=0}^{k-1} a_0*x^{k-1-i})*g(x)+r(x)$

可以得到：

$A^n=r(A)$

设$r(A)=\sum_{i=0}^{k-2} bi*A^{k-2-i}$

同时乘上初始矩阵$B$

$B*A^n=\sum_{i=0}^{k-2} bi*B*A^{k-2-i}$

关注后面的：$B*A^{k-2-i}$

两种处理方法：

$B*A^{k-2-i}$的最大下标的元素就是$F_{2*k-2-i}$，

我们需要提前推出$F_k \to F_{2*k-2}$然后每一个依次乘上对应的系数$b_i$即可（n要提前-=k）

或者，$B*A^{k-2-i}$的最小下标的元素就是$F_{k-2-i}$，然后每一个依次乘上对应的系数$b_i$即可（n就不用动了）

至于$r(x)$的求法

1.暴力多项式除法（n太大和暴力没有区别）

2.倍增+暴力多项式取mod

​ 计算$x=T \space mod \space A$自乘得到：$x^2=T^2 \space mod \space A$，再暴力取模（由于A的首项是1，所以不用逆元O(k^2）即可)

类似快速幂一样乘到答案多项式里去

O(k^2logn)

3.暴力取模变成多项式除法O(klognlogk)

例题：

【BZOJ4161】

NOI2017]泳池——概率DP+线性递推