CayleyHamilton theorem - Wikipedia

其实不是理解很透彻,,,先写上

简而言之:

是一个知道递推式,快速求第n项的方法

k比较小的时候可以用矩阵乘法

k是2000,n是1e18呢?

思想:求出开始的k项的每一项对第n项的贡献

特征多项式,,

fibonacci:

f[n]=f[n-1]+f[n-2]

x^2=x+1

推广:

f[n]=af[n-1]+bf[n-2]

x^2=ax+b*1

再推广:

f[n]=a1f[n-1]+a2f[n-2]+...+akf[n-k]

x^k=a1x^(k-1)+...+ak

特征多项式就是左边移动过去:x^2-x-1=0

其实本质是:

x是转移矩阵。

必然有x^2-x-1=0成立

具体的证明以及用法

$B*A^n=F_n$

$B*A^{n-1}=F_{n-1}$

...

$B*A^{n-k}=F_{n-k}$

如果有:$F_n=\sum_{i=1}^k ai*F_{n-i}$

那么可以把第一个式子减去后面k个等式的乘上$a_i$的和得到:

$B*(A^n-a_{1}A^{n-1}-.....-a_{k}A^{n-k})=0$

必然有:$(A^n-a_{1}A^{n-1}-.....-a_{k}A^{n-k})=0$

不妨用x来代替A

$x^{k}-\sum_{i=0}^{k-1} a_0*x^{k-1-i}=0$

对于$x^n$,一定可以写成:$x^n=(x^{k}-\sum_{i=0}^{k-1} a_0*x^{k-1-i})*g(x)+r(x)$

可以得到:

$A^n=r(A)$

设$r(A)=\sum_{i=0}^{k-2} bi*A^{k-2-i}$

同时乘上初始矩阵$B$

$B*A^n=\sum_{i=0}^{k-2} bi*B*A^{k-2-i}$

关注后面的:$B*A^{k-2-i}$

两种处理方法:

$B*A^{k-2-i}$的最大下标的元素就是$F_{2*k-2-i}$,

我们需要提前推出$F_k \to F_{2*k-2}$然后每一个依次乘上对应的系数$b_i$即可(n要提前-=k)

或者,$B*A^{k-2-i}$的最小下标的元素就是$F_{k-2-i}$,然后每一个依次乘上对应的系数$b_i$即可(n就不用动了)

至于$r(x)$的求法

1.暴力多项式除法(n太大和暴力没有区别)

2.倍增+暴力多项式取mod

​ 计算$x=T \space mod \space A$自乘得到:$x^2=T^2 \space mod \space A$,再暴力取模(由于A的首项是1,所以不用逆元O(k^2)即可)

类似快速幂一样乘到答案多项式里去

O(k^2logn)

3.暴力取模变成多项式除法O(klognlogk)

例题:

【BZOJ4161】

NOI2017]泳池——概率DP+线性递推

[学习笔记]Cayley-Hilmiton的更多相关文章

  1. js学习笔记:webpack基础入门(一)

    之前听说过webpack,今天想正式的接触一下,先跟着webpack的官方用户指南走: 在这里有: 如何安装webpack 如何使用webpack 如何使用loader 如何使用webpack的开发者 ...

  2. PHP-自定义模板-学习笔记

    1.  开始 这几天,看了李炎恢老师的<PHP第二季度视频>中的“章节7:创建TPL自定义模板”,做一个学习笔记,通过绘制架构图.UML类图和思维导图,来对加深理解. 2.  整体架构图 ...

  3. PHP-会员登录与注册例子解析-学习笔记

    1.开始 最近开始学习李炎恢老师的<PHP第二季度视频>中的“章节5:使用OOP注册会员”,做一个学习笔记,通过绘制基本页面流程和UML类图,来对加深理解. 2.基本页面流程 3.通过UM ...

  4. 2014年暑假c#学习笔记目录

    2014年暑假c#学习笔记 一.C#编程基础 1. c#编程基础之枚举 2. c#编程基础之函数可变参数 3. c#编程基础之字符串基础 4. c#编程基础之字符串函数 5.c#编程基础之ref.ou ...

  5. JAVA GUI编程学习笔记目录

    2014年暑假JAVA GUI编程学习笔记目录 1.JAVA之GUI编程概述 2.JAVA之GUI编程布局 3.JAVA之GUI编程Frame窗口 4.JAVA之GUI编程事件监听机制 5.JAVA之 ...

  6. seaJs学习笔记2 – seaJs组建库的使用

    原文地址:seaJs学习笔记2 – seaJs组建库的使用 我觉得学习新东西并不是会使用它就够了的,会使用仅仅代表你看懂了,理解了,二不代表你深入了,彻悟了它的精髓. 所以不断的学习将是源源不断. 最 ...

  7. CSS学习笔记

    CSS学习笔记 2016年12月15日整理 CSS基础 Chapter1 在console输入escape("宋体") ENTER 就会出现unicode编码 显示"%u ...

  8. HTML学习笔记

    HTML学习笔记 2016年12月15日整理 Chapter1 URL(scheme://host.domain:port/path/filename) scheme: 定义因特网服务的类型,常见的为 ...

  9. DirectX Graphics Infrastructure(DXGI):最佳范例 学习笔记

    今天要学习的这篇文章写的算是比较早的了,大概在DX11时代就写好了,当时龙书11版看得很潦草,并没有注意这篇文章,现在看12,觉得是跳不过去的一篇文章,地址如下: https://msdn.micro ...

  10. ucos实时操作系统学习笔记——任务间通信(消息)

    ucos另一种任务间通信的机制是消息(mbox),个人感觉是它是queue中只有一个信息的特殊情况,从代码中可以很清楚的看到,因为之前有关于queue的学习笔记,所以一并讲一下mbox.为什么有了qu ...

随机推荐

  1. 如何判断Android设备是否为模拟器

    android.os.Build.BRAND:获取设备品牌 如果获取的Landroid/os/Build;->BRAND的值为 "generic"则为模拟器上运行. andr ...

  2. 20155333 《网络对抗》 Exp5 MSF基础应用

    20155333 <网络对抗> Exp5 MSF基础应用 基础问题回答 用自己的话解释什么是exploit,payload,encode exploit:攻击手段,是能使攻击武器(payl ...

  3. 当系统扩展遇到违背OO的里氏原则(LSP)的时候怎么办 ?

    先转一篇写得很好的文章:http://www.cnblogs.com/CodeGuy/archive/2012/03/26/2418803.html ========================= ...

  4. Centos7下python3安装pip-9.0.1

    pip类似RedHat里面的yum,安装Python包非常方便.本节详细介绍pip的安装.以及使用方法 1.下载pip安装包 [root@localhost ~]# wget https://pypi ...

  5. R实战 第六篇:数据变换(aggregate+dplyr)

    数据分析的工作,80%的时间耗费在处理数据上,而数据处理的主要过程可以分为:分离-操作-结合(Split-Apply-Combine),也就是说,首先,把数据根据特定的字段分组,每个分组都是独立的:然 ...

  6. stl源码剖析 详细学习笔记 RB_tree (1)

    // //  RB_tree_STL.cpp //  笔记 // //  Created by fam on 15/3/21. // // #include "RB_tree_STL.h&q ...

  7. linux之awk基础

    第一章 1.awk 简介 awk不仅仅时linux系统中的一个命令,而且是一种编程语言,可以用来处理数据和生成报告(excel).处理的数据可以是一个或多个文件,可以是来自标准输入,也可以通过管道获取 ...

  8. python中类中属性和方法的具体定义方法和使用

    1. Python中类中特性分成属性和方法 属性和方法都分为私有和公有的,私有的只可以在本类中使用外部是无法访问的 2. 定义属性(成员变量)的语法格式(公有属性/私有属性) class 类名: de ...

  9. Unity3d-通过简单示例来理解Time.deltaTime

    转载文章: Unity3d-通过简单示例来理解Time.deltaTime 2018年04月21日 18:04:14 Black_Window 阅读数:926 标签: UnityTime 更多 个人分 ...

  10. Hyperldeger Fabric踩过的坑

    给参与者颁发身份时错误 错误信息: fabric-ca request register failed with errors [[{"code":400,"messag ...