MT【185】$\max$的表示

已知$f(x)=x^2+(a-4)x+1+|x^2-ax+1|$的最小值为$\dfrac{1}{2}$,则$a$=______

提示:
$f(x)=\max\{2(x-1)^2,2(a-2)x\}$,从而由图像可得$a=\dfrac{5}{2}$

注：几个常用的和max有关的小技巧

$\max\{f,g\}=\dfrac{f+g+|f-g|}{2};|a|+|b|=max\{|a+b|,|a-b|\};\dfrac{a+b}{2}\le\max\{a,b\}；$

$\textbf{当}a+b>0,\max\{a,b\}=\max\{|a|,|b|\}$