$Gauss$消元

$Gauss$消元

　　今天金牌爷来问我一个高消的题目,我才想起来忘了学高消...

　　高斯消元用于解线性方程组，也就是形如：

　　$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+...+a_{3n}x_n=b_3\end{matrix}\right.$​

　　好像也可以写成这样：

　　$AX=B$

　　其实就是小学学的加减消元...

　　举个栗子:

　　$\left\{\begin{matrix}3x_1+2x_2=5\\ 2x_1+3x_2=10\\\end{matrix}\right.$

　　首先从第一列开始，找到第一项系数的绝对值最大的一行放到第一行，把这个系数除去(系数化为$1$):

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\ 2x_1+3x_2=10\\\end{matrix}\right.$

　　发现第二行减去两个第一行就可以消掉第一个未知数,那么就减掉两个好咯:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space \frac{5}{3}x_2=\frac{20}{3}\\\end{matrix}\right.$

　　再消掉第二行的系数:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　现在就解出了第二个未知数,再从底往上代回去:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}\times 4=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　依次解出所有的未知数即可:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1=-1\\\ x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　为什么要将系数绝对值最大的一项作为主元进行消元呢?因为实际做题中用的不是分数而是浮点数,有误差的问题,如果用于消元的主元太接近零,那么下一行就需要减掉非常多倍的上一行,导致精度大量损失.

　　怎样判断无解:如果消元结束后发现有一行的系数全为$0$,但是此行的$b$不为$0$,那么未知数取任何值都不满足要求;

　　怎样判断无穷组解:如果消元结束后有一行系数全为$0$,$b$也是$0$,那么可以随意取值.

　　也就是平时数学中做题可能会碰到的“两个方程左边的本质是相同的，但是答案却不相同，就无解，如果答案相同，说明有$n$个未知数,限制条件却少于$n$个，此时有多组解”。

　　注意一点:如果有的方程无解,有的有多组解,总方程组还是无解,所以先判断无解再判断多解.

　　

　　线性方程组:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2455

　　题意概述:完全的模板题.

　　

 # include <cstdio>
 # include <iostream>
 # include <queue>
 # include <cstring>
 # include <cmath>
 # include <string>
 # define R register int
 # define ll long long

 using namespace std;

 const double eps=0.0000001;
 const int maxn=;
 int n,cnt,None,Endless;
 bool fre[maxn];
 double A[maxn][maxn],x,ans[maxn];

 void Gauss()
 {
     for (R i=;i<=n;++i)
     {
         int id=i;
         for (R j=i+;j<=n;++j)
             if(fabs(A[id][i])<fabs(A[j][i])) id=j;
         for (R j=;j<=n+;++j)
             swap(A[i][j],A[id][j]);
         if(fabs(A[i][i])<eps) continue;
         x=A[i][i];
         for (R j=;j<=n+;++j) A[i][j]/=x;
         for (R j=;j<=n;++j)
         {
             if(i==j) continue;
             x=A[j][i];
             for (R k=;k<=n+;++k)
                 A[j][k]-=x*A[i][k];
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for (R i=;i<=n;++i)
         for (R j=;j<=n+;++j)
             scanf("%lf",&A[i][j]);
     Gauss();
     for (R i=;i<=n;++i)
     {
         R j=;
         while (fabs(A[i][j])<eps&&j<=n+) j++;
         if(j>n+) Endless=;
         else if(j==n+) None=;
     }
     if(None) { printf("-1"); return ; }
     if(Endless) { printf(""); return ; }
     for (R i=n;i>=;--i)
     {
         ans[i]=A[i][n+];
         for (R j=i-;j>=;--j)
         {
             A[j][n+]-=ans[i]*A[j][i];
             A[j][i]=;
         }
     }
     for (R i=;i<=n;++i)
         printf("x%d=%.2lf\n",i,ans[i]);
     return ;
 }

线性方程组

　　

　　游走:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143

　　题意概述：给定一张$n$个点$m$条边的无向简单连通图,从一号点出发,每次从这个点发出的所有边中随机选择一条走过去,到达$n$之后就不再走了,要求给每一条边赋一个独特的,$[1,m]$的权值,使得整条路径上期望的权值总和最小.

　　为什么要做这道题呢?$shzr:$我学了高斯消元;$asuldb$:高斯消元有什么用啊,又不能做题;$shzr$:点开"线性方程组";$asuldb$:那有什么用啊,你除了会做模板题还是什么都不会啊,你会用高斯消元做期望吗?$shzr$:...

　　也许这题应该放到期望的标签下? 首先根据期望的线性可加性,权值和的期望等于权值的期望和,所以可以对于每一条边分别计算贡献.每一条边的贡献就是经过这一条边的期望次数乘上它的权值;这时贪心策略就很明显了,首先求出每条边的期望经过次数,按照这个次数进行排序,出现次数多的优先赋值小权值即可.那么怎样计算一条边的贡献呢?一条边有两个端点,经过它必然是从某一个端点走过来的,假设我们已经计算出了每个点的期望经过次数记作$E_i$,每个点的度数记为$d_i$,那么对于一条端点为$x,y$的边,它的期望经过次数就是$\frac{E_x}{d_x}+\frac{E_y}{d_y}$.

　　如何计算每个点的期望经过次数?枚举每一个与它有边相连的点，它的经过次数就是$E_u=\sum_{v->u}\frac{E_v}{d_v}$，到这里问题就完美解决了。

　　然而你可能突然发现这道题是无向图，事情并没有那么简单·_· 每个点之间的相互关系不仅无法进行拓扑排序而且错综复杂，问题进行到这里我们好像陷入了知识盲区。但是仔细整理思路可以发现虽然每个点互相关联，但是却正好组成了一个$N$元一次方程组,$N$个方程,于是可以使用高斯消元.因为走到第$n$个点就不能再走了,这个点不能计算贡献,所以可以直接在矩阵中删去这个点.因为第一个点是开始点,所以除了从别的点到这里的贡献之外还另外有一个$1$,不要忘了.初始化矩阵时要注意:第$x$行的方程是用于计算第$x$个未知数的,第$y$列的系数是对于第$y$个未知数给出去的贡献的,不要写反了.

 for (R i=;i<=m;++i)
     {
         if(x[i]==n||y[i]==n) continue;
         a[ x[i] ][ y[i] ]-=1.0/d[ y[i] ]; //注意这里
         a[ y[i] ][ x[i] ]-=1.0/d[ x[i] ]; //
     }

　　

 # include <cstdio>
 # include <iostream>
 # include <algorithm>
 # define R register int

 using namespace std;

 const int maxn=;
 int u,v,n,m,h,firs[maxn],d[maxn];
 double a[maxn][maxn],ans[maxn];
 int x[maxn*maxn],y[maxn*maxn];
 double co[maxn*maxn];

 double ab (double a) { if(a<) return -a; return a; }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for (R i=;i<=m;++i)
     {
         scanf("%d%d",&u,&v);
         x[++h]=u;
         y[h]=v;
         d[u]++,d[v]++;
     }
     for (R i=;i<=m;++i)
     {
         if(x[i]==n||y[i]==n) continue;
         a[ x[i] ][ y[i] ]-=1.0/d[ y[i] ];
         a[ y[i] ][ x[i] ]-=1.0/d[ x[i] ];
     }
     for (R i=;i<n;++i)
         a[i][i]=1.0;
     a[][n]=1.0;
     for (R i=;i<n;++i)
     {
         int maxx=i;
         for (R j=i+;j<n;++j)
             if(ab(a[maxx][i])<ab(a[j][i])) maxx=j;
         swap(a[i],a[maxx]);
         double x;
         for (R j=i+;j<n;++j)
         {
             x=a[j][i]/a[i][i];
             for (R k=i;k<=n;++k)
                 a[j][k]-=a[i][k]*x;
         }
     }
     for (R i=n-;i>=;--i)
     {
         for (R j=i+;j<n;++j) a[i][n]-=a[i][j]*ans[j];
         ans[i]=a[i][n]/a[i][i];
     }
     for (R i=;i<=m;++i)
     {
         co[i]+=ans[ x[i] ]/d[ x[i] ];
         co[i]+=ans[ y[i] ]/d[ y[i] ];
     }
     double fans=;
     sort(co+,co++m);
     for (R i=;i<=m;++i)
         fans+=co[i]*(m-i+);
     printf("%.3lf",fans);
     return ;
 }

游走

---shzr