CSP-J2019 把8个同样的球放在同样的5个袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？

把8个同样的球放在同样的5个袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？

提示：如果8个球都放在一个袋子里，无论是放哪个袋子，都只算同一种分法。

解析：

把问题合成，先思索5个袋子都不空的状况，再思索4个袋子不空的状况，以此类推，最后思索只运用一个袋子的状况（这种分法只要1种），把一切子状况的分法数相加求出总分法。

进一步剖析，运用k个袋子装n个球（袋子不空），一共有几种分法的问题能够转化为k个数相加等于n的种数问题。

运用5个袋子装8个球则有3种：

1+1+1+1+4 = 8

1+1+1+2+3 = 8

1+1+2+2+2 = 8

运用4个袋子分8个球则有5种：

1+1+1+5=8

1+1+2+4=8

1+1+3+3=8

1+2+2+3=8

2+2+2+2=8

运用3个袋子分8个球则有5种：

1+1+6=8

1+2+5=8

1+3+4=8

2+2+4=8

2+3+3=8

运用2个袋子分8个球则有4种：

1+7=8

2+6=8

3+5=8

4+4=8

运用1个袋子装8个球则有1种：

8=8

因而，该问题的答案即为一切子状况下的和，3+5+5+4+1 = 18。

扩展局部：

关于将一个整数 N 合成成 K 个不为0的数之和，能够应用递归加动态规划来停止快速运算。

递推公式为：

f(n, k) = f(n-1, k-1) + f(n-k, k)

递归出口为：

f(n, k) = 1, 当 k == 1 或 n == k;（很明显，只要一个袋子，或者袋子数和球数相同时只要一种分法）

f(n, k) = 0, 当 n < k；（球数比袋子数少，则必然存在尚未应用的袋子，无解）

接下来停止剖析：

f(n-1, k-1）怎样了解呢，就是把第 1 个数放成 1，然后把剩下的 n-1 这个数分红 k-1 份。f(n-1, k-1）就是原n，k问题中第一个数是 1 的一切分的办法数；

f(n-k, k) 就是原n，k问题中第一个数不是 1（大于1），能够分的办法数。这是一个关键点。认真剖析，相当于给 k 个位置，每个位置先放一个 1，（相当于每个袋子都有1个球）。接下来剩下的 n-k ，这个数字再往这 k 个位置上分，（相当于把剩下的球分给袋子，仍保证应用一切袋子）这能够保证第一个位置至少比1大（第一个袋子的球数大于1）。

来源：知乎Ron Tang