【CodeForces】835F Roads in the Kingdom

一、题目

题目描述

王国有$n$座城市与$n$条有长度的街道，保证所有城市直接或间接联通，我们定义王国的直径为所有点对最短距离中的最大值，现因财政危机需拆除一条道路并同时要求所有城市仍然联通，求所有拆除方案中王国直径的最小值

输入格式

第一行一个整数$n$，接下来$n$行每行三个整数$u,v,w$表示城市$u,v$之间有一条长度为$w$的道路

输出格式

一行一个答案，表示所有方案中直径最小值

二、题意

定义直径为任意两点间的最短距离的最大值。给出一棵基环树，问删去环上的一条边，使剩下的树的直径最小。问最小的直径是多少。

三、PROCESS OF THINKING

我刚开始的时候在想怎么选择删的边才最优，后来想了一个上午发现好像行不通。所以我往枚举删除哪条边，然后快速求出此时的树的直径这方面想。

其中有一点可以确定，就是每个环上的点对应的树是不变的。

应该可以想到求出每个环上的点到其树中的最长链。然后通过环来合并这些链。

考虑环上的点，首先我们枚举只能从$x$开始顺时针走（相当于把$x$连向前面的点的边删掉）。设$f_i$为$i$这个点对应的链长，$sum_i$为$i$到$x$的距离。

由此可以得出一条路径可以表示为$$f_i+f_j+sum_j-sum_i$$，即为$$f_i-sum_i+sum_j+f_j$$。

而对于每种情况我们要求的是最长的路径。故只要$f_i-sum_i$最大，$f_j+sum_j$最大就行了。用两个set维护就好了。

至于万一选择的两个点$i$，$j$的相对位置的问题，我也思考了一下（可能是我太弱了）。

我们假设$i$在$j$后面，而我们选择了$i$是$f_i+sum_i$最大的，$j$是$f_j-sum_j$最大的。那么由于$sum_i>sum_j$，所以其实$$f_i+sum_i+f_j-sum_j>f_i-sum_i+f_j+sum_j$$的。（哦，这里提一下，如果选择的$i=j$，那么尝试$f_i+sum_i$取次小值，或$f_j-sum_j$取次小值）所以我们只要保证$f_i+sum_i+f_j-sum_j$是最优的且$i\not=j$，一定可以保证$i$在$j$前面。

这里还有一个小细节，就是如何枚举下一个开始点时，要把上一个点$i$放到数组的末尾，还要解决$sum_i$变大的问题。其实只要把环上的点再重新加到原数组的末尾就好了，这样可以解决$sum_i$的问题。

四、代码



#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <set>

#define fi first

#define se second

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef pair <LL, int> PLI;

typedef pair <int, int> PII;

const int MAXN = 200000;

const LL INF = 1e15;

multiset <PLI, greater <PLI> > set1;

multiset <PLI, greater <PLI> > set2;

struct Edge {

    int to, nxt, w;

} edge[MAXN + 5 << 1];

LL ans, mxdis[MAXN + 5], sum[MAXN + 5 << 1], dia;

int fir[MAXN + 5], ecnt, pre[MAXN + 5], eid[MAXN + 5], lpcnt, dfn[MAXN + 5], timer, n;

PII lop[MAXN + 5 << 1];

bool inl[MAXN + 5];

template <typename T> void read(T &x) {

    x = 0; int f = 1; char c = getchar();

    while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }

    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - 48; c = getchar(); }

    x *= f;

}

void addedge(int u, int v, int w) {

    edge[++ecnt].to = v;

    edge[ecnt].nxt = fir[u];

    edge[ecnt].w = w;

    fir[u] = ecnt;

}

void getloop(int u) {

    dfn[u] = ++timer;

    for (int e = fir[u]; e && !lpcnt; e = edge[e].nxt) {

        int v = edge[e].to;

        if (v == pre[u]) continue;

        if (dfn[v]) {

            if (dfn[v] < dfn[u]) continue;

            for (int i = v; i != u; i = pre[i]) {

                lop[++lpcnt] = make_pair(i, edge[eid[i]].w);

                inl[i] = true;

            }

            lop[++lpcnt] = make_pair(u, edge[e].w);

            inl[u] = true;

            return;

        }

        pre[v] = u;

        eid[v] = e;

        getloop(v);

    }

}

void dfs(int u, int fa) {

    LL maxx = 0, minx = 0;

    mxdis[u] = 0;

    for (int e = fir[u]; e; e = edge[e].nxt) {

        int v = edge[e].to;

        if (v == fa || inl[v]) continue;

        dfs(v, u);

        mxdis[u] = max(mxdis[u], mxdis[v] + edge[e].w);

        if (mxdis[v] + edge[e].w > maxx) {

            minx = maxx;

            maxx = mxdis[v] + edge[e].w;

        } else if (mxdis[v] + edge[e].w > minx)

            minx = mxdis[v] + edge[e].w;

    }

    dia = max(dia, minx + maxx);

}

int main() {

    read(n);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        int u, v, w;

        read(u), read(v), read(w);

        addedge(u, v, w);

        addedge(v, u, w);

    }

    getloop(1);

    for (int i = 1; i <= lpcnt; ++i) {

        lop[i + lpcnt] = lop[i];

        dfs(lop[i].fi, 0);

    }

    for (int i = 2; i <= lpcnt << 1; ++i)

        sum[i] = sum[i - 1] + lop[i - 1].se;

    for (int i = 1; i <= lpcnt; ++i) {

        set1.insert(make_pair(mxdis[lop[i].fi] + sum[i], i));

        set2.insert(make_pair(mxdis[lop[i].fi] - sum[i], i));

    }

    ans = INF;

    for (int i = 1; i <= lpcnt; ++i) {

        LL diameter;

        if (set1.begin()->se == set2.begin()->se) {

            multiset <PLI, greater <PLI> >::iterator ptr = set2.begin();

            ++ptr;

            diameter = set1.begin()->first + ptr->first;

            ptr = set1.begin();

            ++ptr;

            diameter = max(diameter, ptr->first + set2.begin()->first);

        } else

            diameter = set1.begin()->first + set2.begin()->first;

        ans = min(ans, diameter);

        set1.erase(make_pair(mxdis[lop[i].fi] + sum[i], i));

        set2.erase(make_pair(mxdis[lop[i].fi] - sum[i], i));

        set1.insert(make_pair(mxdis[lop[i + lpcnt].fi] + sum[i + lpcnt], i + lpcnt));

        set2.insert(make_pair(mxdis[lop[i + lpcnt].fi] - sum[i + lpcnt], i + lpcnt));

    }

    printf("%lld\n", max(ans, dia));

    return 0;

}

TIPS
1. 前面提到树的直径是不变的，所以最后的答案不应该超过每个环上的点对应的树的直径。
2. 数组别忘了开两倍...