gym102586 部分题解

目录

• Evacuation
• Sum Modulo
• Count Modulo 2
• Robots
• Construct Points
• Amidakuji
• Yosupo's Algorithm

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出于某种原因，本篇博客不提供代码。

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Evacuation

考虑设 \(f(l,r,x)\) 表示当前询问区间为 \([l,r]\)， \(S\) 个人都访问 \(x\) 时候的答案。

显然是先枚举距离填满帐篷，然后如果距离枚举到 \(\min{x-l-1,r+1-x}\) 还没放置完所有人，就全部跑到 \(l-1/r+1\) 去避难。

发现最后当 \(x\in[l,mid]\) 的时候到 \(l-1\) 避难，当 \(x\in[mid+1,r]\) 的时候到 \(r+1\) 避难。

这样的话，当 \(x\in[l,mid]\) 的时候，最小代价跟 \(r\) 没有关系，在 \([mid+1,r]\) 的时候同理。

设这个代价是 \(f_{left}[l,x]\)，我们要求 \(\max_{x=l}^{mid}{f_{left}[l,x]}\)

这个问单个 \(x\) 可以通过预处理前缀和做到 \(O(1)\)，现在已经有了 \(O(n^2)\) 的做法简直和暴力一样优秀，显然过不去。

但容易发现它满足决策单调性，于是搞一个线段树+分治优化决策即可。

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Sum Modulo

编了一年才知道哪里写假了...

发现有递推式 \(f_m=\sum\limits_{i=1}^nf_{m-i}a_i+1\)，然后可以线性递推出 \(f_{M+1}...f_{M+n-1}\) 关于 \(f_{1},f_{2}...f_{n-1}\) 的线性表示。

高斯消元解出 \(f_{1}...f_{n-1}\) 然后再跑一次线性递推。

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Count Modulo 2

设 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^nx^{a_i}\)，发现是求 \([x^s]f(x)^n\mod2\)，然后会发现 \(f(x)^{2^i}\equiv \sum\limits_{j=1}^nx^{a_j2^i}\mod2\)，然后压位 dp 一下就完事了。

多测不清空，爆零两行泪。

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Robots

这个东西显然有下界是 \(\sum\limits_{i=1}^n|a_i-b_i|\)， 然后开动脑筋构造出一个符合条件的方案即可。

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Construct Points

随便构造一组斜率相近的直线。

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Amidakuji

发现题目中有个 \(\log\) 就开始想二进制构造。

首先发现 \(\sum\limits_{i=0}^{?}\pm2^i\) 是可以凑出所有在上界内的偶数的。

然后这道题里面把置换环的边看成无向边就非常好构造。

所以如果 \(n\) 是奇数，我们的第 \(i\) 个置换搞成 \(x\rightarrow x+2^i\mod n\)，这样在模意义下可以凑出任意值。

现在考虑 \(n\) 是偶数的情况怎么修。

发现在所有操作完之后会改变奇偶性，于是需要建立一个置换，使得奇数能变成奇数/偶数，偶数也是。

考虑每 \(4\) 个分一组，连边 \(x\rightarrow x+2\rightarrow x+3\rightarrow x+1\rightarrow x\)

这样就能搞定 \(4|n\) 的情况。

当 \(n\equiv2\mod 4\) 的时候，最后两个没法搞定，我们再随便建一个新的置换上去即可，比如对于前 \(n-4\) 个有 \(x\rightarrow x\)，最后四个跟刚刚一样构造。

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Yosupo's Algorithm

直接暴力枚举点对算贡献不是非常优秀，考虑优化枚举的点对数。

显然能想到关于 \(y\) 坐标进行分治。

经过简单分类讨论容易发现如果该点对有用，那么一定至少有一个点的权值在当前范围内该颜色点中是最大的，于是总点对数是 \(O(n\log n)\) 的。

扫描线即可。