平衡树Treap模板与原理

这次我们来讲一讲Treap(splay以后再更)

平衡树是一种排序二叉树(或二叉搜索树)，所以排序二叉树可以迅速地判断两个值的大小，当然操作肯定不止那么多(不然我们还学什么)。

而平衡树在排序二叉树的基础上主要是增加了一个优化：就是高度较为平衡，并可以动态平衡。

而今天要讲的treap就是一种动态平衡的方法。

首先说声抱歉，因为没有那么多的时间，所以无法把左旋和右旋两种操作具体的讲，但是可以看刘汝佳的蓝书，讲得还是挺清楚的。

现在开始。

treap用的是一种比较玄学的方法，就是将每一个点还附上一个随机值，然后按照堆的性质，不管大小根堆都是一样的，所以我们每加入一个值，就利用上浮操作进行旋转，保持堆的性质，且不改变排序二叉树的性质。

操作很好理解，就是每次insert时进行判断就行了，若不满足，则上浮。

具体的排序二叉树的操作，我就不再赘述了，如果要学，可以看刘汝佳的蓝书(感觉在跟刘汝佳打广告)。

下面送上代码。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<ctime>
 using namespace std;
 int n,root,size,ans;
 struct P{
     int l,r,sz,key,rd,re;//re为重复次数，key为加入权值
 }t[];
 void update(int k)
 {
     t[k].sz=t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz+t[k].re;
 }
 void left(int &k)//右旋
 {
     int y=t[k].r;
     t[k].r=t[y].l;
     t[y].l=k;
     t[y].sz=t[k].sz;
     update(k);
     k=y;
 }
 void right(int &k)//左旋
 {
     int y=t[k].l;
     t[k].l=t[y].r;
     t[y].r=k;
     t[y].sz=t[k].sz;
     update(k);
     k=y;
 }
 void init(int &k,int x)//加入操作
 {
     if(k==)
     {
         size++;
         k=size;
         t[k].sz=;
         t[k].re=;
         t[k].key=x;
         t[k].rd=rand();
         return;
     }
     t[k].sz++;
     if(t[k].key==x)  t[k].re++;
     else{
         if(x>t[k].key)
         {
             init(t[k].r,x);
             if(t[t[k].r].rd<t[k].rd)   left(k);//这里和下面都是判断是不是满足堆的性质
         }
         if(x<t[k].key)
         {
             init(t[k].l,x);
             if(t[t[k].l].rd<t[k].rd)   right(k);
         }
     }
 }
 void del(int &k,int x)
 {
     if(k==)  return;
     if(t[k].key==x)
     {
         if(t[k].re>)
         {
             t[k].re--;
             t[k].sz--;
             return;
         }
         if(t[k].l*t[k].r==)  k=t[k].l+t[k].r;//k代表指针的移动，所以移动到了左或右儿子
         else
         {
             if(t[t[k].l].rd<t[t[k].r].rd){
                 right(k);
                 del(k,x);
             }
             else{
                 left(k);
                 del(k,x);
             }
         }
     }
     else{
         if(x>t[k].key)
         {
             t[k].sz--;
             del(t[k].r,x);
         }
         else{
             t[k].sz--;
             del(t[k].l,x);
         }
     }
 }
 int rank1(int k,int x)//找x的排名
 {
     if(k==)  return ;
     if(t[k].key==x)  return t[t[k].l].sz+;
     if(x>t[k].key)   return t[t[k].l].sz+rank1(t[k].r,x)+t[k].re;
     if(x<=t[k].key)  return    rank1(t[k].l,x);
 }
 int rank2(int k,int x)//找排名为x的数
 {
     if(k==)  return ;
     else if(x<=t[t[k].l].sz)    return rank2(t[k].l,x);
     else if(x>t[t[k].l].sz+t[k].re)  return rank2(t[k].r,x-t[t[k].l].sz-t[k].re);
     else  return  t[k].key;
 }
 void pre(int k,int x)//找前驱
 {
     if(k==)  return;
     if(t[k].key<x)
     {
          ans=k;
          pre(t[k].r,x);
     }
     else pre(t[k].l,x);
 }
 void nxt(int k,int x)//找后继
 {
     if(k==)  return;
     if(t[k].key>x)
     {
         ans=k;
         nxt(t[k].l,x);
     }
     else nxt(t[k].r,x);
 }
 int main()
 {
     srand(time());
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int num,x;
         scanf("%d%d",&num,&x);
         if(num==)  init(root,x);
         if(num==)  del(root,x);
         if(num==)  printf("%d\n",rank1(root,x));
         if(num==)  printf("%d\n",rank2(root,x));
         if(num==)
         {
             pre(root,x);
             printf("%d\n",t[ans].key);
         }
         if(num==)
         {
             nxt(root,x);
             printf("%d\n",t[ans].key);
         }
     }
     return ;
 }

模板题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369

谢谢大家的观看。

如有不妥之处，请大家指出。