洛谷 P2331 [SCOI2005]最大子矩阵

洛谷

这一题，乍一眼看上去只想到了最暴力的暴力——大概\(n^4\)吧。

仔细看看数据范围，发现\(1 \leq m \leq 2\)，这就好办了，分两类讨论。

我先打了\(m=1\)的情况，拿了30分。

就相当于最大\(k\)段子段和。

直接用\(dp[i][j][0/1]\)数组表示第\(i\)个选了\(j\)段的最大值，0代表不选，1为选。

那么状态转移方程也很简单：

• \(dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j-1][0],dp[i-1][j][1])+t[i];\)
• \(dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1]);\)

而\(m=2\)的情况怎么弄呢？

实际上设计好状态，状态转移方程就出来了。

设\(f[i][j][0,1,2,3,4]\)表示第\(i\)行选\(j\)个矩阵的最大值。

• \(f[i][j][0]\)表示不选第\(i\)行。
• \(f[i][j][1]\)表示选第\(i\)行的左边一段。
• \(f[i][j][2]\)表示选第\(i\)行的右边一段。
• \(f[i][j][3]\)表示选第\(i\)行左边和右边，分别代表两个段。
• \(f[i][j][4]\)表示选第\(i\)行左右两边，只代表一段。

那么状态转移方程也很好出来了。

• \(f[i][j][0]=max\{f[i-1][j][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3],f[i-1][j][4]\};\)

• \(f[i][j][1]=max\{f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3], f[i-1][j-1][4]\}+a[i][0];\)

• \(f[i][j][2]=max\{f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][2],f[i-1][j][3], f[i-1][j-1][4]\}+a[i][1];\)

• \(f[i][j][4]=max\{f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3]\}+a[i][0]+a[i][1];\)

• \(if~(j>=2)~f[i][j][3]=max\{f[i][j][3],f[i-1][j-2][4]+a[i][0]+a[i][1]\};\)

• \(f[i][j][4]=max\{f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2],f[i-1][j-1][3],f[i-1][j][4]\}+a[i][0]+a[i][1];\)

那么状态转移方程出来了就上代码吧！

那么多\(max\)连在一起真是美如画呀～

#include <bits/stdc++.h>
#define N 101
#define K 11
using namespace std;
int n,m,k;
const int mx=0x3f3f3f3f;

int dp[N][K][2],t[N];
void work1()
{
    for (int i=1;i<=n;++i) cin>>t[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=k;++j) {
            dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0])+t[i];
            dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1]);
        }
    cout<<max(dp[n][k][0],dp[n][k][1]);
}

int f[N][K][5],a[N][2];
void work2()
{
    memset(f,-mx,sizeof(f));
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=k;j++) f[i][j][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i][0]>>a[i][1];
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=k;++j) {
            f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],max(f[i-1][j][1],max(f[i-1][j][2],max(f[i-1][j][3],f[i-1][j][4]))));
            f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],max(f[i-1][j][1],max(f[i-1][j-1][2],max(f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4]))))+a[i][0];
            f[i][j][2]=max(f[i-1][j-1][0],max(f[i-1][j-1][1],max(f[i-1][j][2],max(f[i-1][j][3],f[i-1][j-1][4]))))+a[i][1];
            f[i][j][3]=max(f[i-1][j-1][1],max(f[i-1][j-1][2],f[i-1][j][3]))+a[i][0]+a[i][1];
            if (j>1) f[i][j][3]=max(f[i][j][3],f[i-1][j-2][4]+a[i][0]+a[i][1]);
            f[i][j][4]=max(f[i-1][j-1][0],max(f[i-1][j-1][1],max(f[i-1][j-1][2],max(f[i-1][j-1][3],f[i-1][j][4]))))+a[i][0]+a[i][1];
        }
    cout<<max(f[n][k][0],max(f[n][k][1],max(f[n][k][2],max(f[n][k][3],f[n][k][4]))));
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>k;m!=2?work1():work2();
    return 0;
}