求图的强连通分量--tarjan算法

一:tarjan算法详解

◦思想：

◦

◦做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]

◦

◦在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。

◦

◦DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

◦（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）

◦如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。

◦

◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。

◦

◦此时将栈中所有节点弹出，包括u,就找到了一个强连通分量

模板：void Tarjan(u) {/*注意小写的tarjan是关键字，还有index也是*/    dfn[u]=low[u]=++index    stack.push(u)

for each (u, v) in E {
        if (v is not visted) {
            tarjan(v)
            low[u] = min(low[u], low[v])
        }
        else if (v in stack) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]) /*这里是low[u] = min(low[u], low[v])也是可以的，因为如果这个点被访问了，而且仍然待在栈中，说明u---v是一条回边，那么这里用dfn[v]
low[v]都是相同了的*/ 
           } 
} if (dfn[u] == low[u]) 
{ //u是一个强连通分量的根  repeat v = stack.pop
 print v 
until (u== v) } //退栈，把整个强连通分量都弹出来 } //复杂度是O(E+V)的

例题：1001. [WZOI2011 S3] 消息传递（来源sojs.tk）

★★   输入文件：messagew.in   输出文件：messagew.out   简单对比
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

Problem 2 消息传递 (messagew.pas/c/cpp)

问题描述

WZland开办了一个俱乐部(这里面可以干任何的事情)，这引来了许多的人来加入。俱乐部的人数越来越多，关系也越来越复杂……

俱乐部的人来自各个地方，为了增加友谊，俱乐部举行了一次晚会。晚会上又进行了一个传话游戏，如果A认识B，那么A收到某个消息，就会把这个消息传给B，以及所有A认识的人(如果A认识B，B不一定认识A)，所有人从1到N编号。

现在给出所有“认识”关系，俱乐部的负责人WZland的国王想知道一个十分简单的问题：如果A发布一条新消息，那么会不会经过若干次传话后，这个消息传回给了A，1≤A≤N。但是WZland的国王是出了名的数学差，幸好的是你在他的身边，于是他就将这个问题交给你来解决。

输入格式

输入数据中的第一行是两个数N和M，两数之间有一个空格，表示人数和认识关系数。

接下来的M行，每行两个数A和B，表示A认识B(1A, BN，AB)。

输出格式

输出文件中一共有N行，每行一个字符“T”或“F”。第i行如果是“T”，表示i发出一条新消息会传回给i；如果是“F”，表示i发出一条新消息不会传回给i。

样例输入输出

message.in 

4 6

1 2

2 3

4 1

3 1

1 3

2 3

message.out

T

T

T

F

数据规模

对于30%的数据，N≤1000，M≤20000；

对于50%的数据，N≤10000，M≤100000；

对于100%的数据，N≤100000，M≤200000；

认识关系可能会重复给出。

时间限制

1s

解析：”认识关系可能会重复给出。“根本不用处理，不会影响答案的。

代码及其分析：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 100100
#include<vector>
vector<int>G[N];
vector<int>ans[N];
int clac=;
bool inzhan[N];
#include<stack>
#include<cstring>
stack<int>s;
int low[N],dfn[N];
bool flag[N]={},ok[N]={};
int n,m;
int Index;
void input()
{
    Index=;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for(int i=;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        G[a].push_back(b);
    }
    memset(inzhan,false,sizeof(inzhan));
    memset(dfn,-,sizeof(dfn));
    memset(low,-,sizeof(low));
}
void Tarjan(int k)
{
    int  j;
    dfn[k]=low[k]=++Index;/*tarjan过程，记录到达该点的时间，和从该点出发能到达的时间最小的点*/
    inzhan[k]=true;/*入栈*/
    s.push(k);
    for(int i=;i<G[k].size();++i)
    {
        int tp=G[k][i];/*邻接表储存，G[k][i]表示从k点出发的第i条边的终点编号*/
        if(low[tp]==-)
        {
            Tarjan(tp);
            low[k]=min(low[k],low[tp]);
        }
        else if(inzhan[tp])
        low[k]=min(low[tp],low[k]);
        /*整理总共有三种情况：未被访问，访问了但是是不是强连通分量还不知道（也就是仍在栈中），访问了已经出栈了（这种不用处理，因为如果这个点在好几个强连通分量中，那么他此时一定没有出栈。因为深搜嘛）*/
    }
    if(low[k]==dfn[k])/*low[k]==dfn[k]是这个强连通分量的标志，也就是起始位置，不能再向上找了*/
    {
        int l;
        clac++;/*强连通分量个数*/
        do{
        l=s.top();
        s.pop();
        ans[clac].push_back(l);
        inzhan[l]=false;
        }while(l!=k);
       if(ans[clac].size()>)
       flag[clac]=true;/*记录这个强连通分量中的所有点是可以传话成功的，下面在重标记每一个点*/
    }
}
void OUT()
{
    for(int i=;i<=clac;++i)
    if(flag[i])
    {
        for(int j=;j<ans[i].size();++j)
        ok[ans[i][j]]=true;
    }
    for(int i=;i<=n;++i)
    if(ok[i])
    printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
int main()
{
    freopen("messagew.in","r",stdin);
    freopen("messagew.out","w",stdout);
    input();
    for(int i=;i<=n;++i)
    if(dfn[i]==-)
    Tarjan(i);
    OUT();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return ;
}