1^b+2^b+3^b+...+n^b数列

首先，这是我自己推出来的，O(n^2)，常数巨大。所以无能为力优化！所以求此数列的公式！求优化！！！

主要思想：要算b次的，那么就要先算b+1次的。

首先，我用F(i, j)表示杨辉三角第i层第j个，即(a+b)^(i-1)，i>1的展开各项系数

第1层：1

第2层：1 1          ((a+b)^1)

第3层：1 2 1       ((a+b)^2)

第4层：1 3 3 1    ((a+b)^3)

....

upd：原来自己2写的都是什么东西，后期想改成latex也不改了，就这样了。现在我来推：

用高一次的推低次的：

$$要求：\sum_{i=1}^{n} i^b$$

$$那么根据：\sum_{i=1}^{n} i^{b+1} + (n+1)^{b+1} = \sum_{i=1}^{n+1} i^{b+1} = \sum_{i=0}^{n} (i+1)^{b+1}$$

然后展开右式后发现能高此项的能约掉，所以就能得到低次项的。

那么，(n+1)^b展开就是

$$F(b+1,1) \times n^b + F(b+1,2) \times n^(b-1) + ... + F(b+1,b) \times n^1 + F(b+1,b+1) \times n^0$$

那么

$$(1+1)^b + (2+1)^b + (3+1)^b + ... + (n+1)^b =$$

$$(F(b+1,1) \times 1^b + F(b+1,1) \times 2^b + F(b+1,1) \times 3^b + ... + F(b+1,1) \times n^b) +$$

$$(F(b+1,2) \times 1^(b-1) + F(b+1,2) \times 2^(b-1)  + F(b+1,2) \times 3^(b-1)  + ... + F(b+1,2) \times n^(b-1) ) +$$

...

$$(F(b+1,b) \times 1^1 + F(b+1,b) \times 2^1 + F(b+1,b) \times 3^1 + ... + F(b+1,b) \times n^1) +$$

$$(F(b+1,b+1) \times 1^0 + F(b+1,b+1) \times 2^0 + F(b+1,b+1) \times 3^0 + ... + F(b+1,b+1) \times n^0) = $$

$$F(b+1,1) \times (1^b+2^b+...+n^b) + F(b+1,2) \times (1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1)) + ... + F(b+1,b) \times (1^1+2^1+...+n^1) + F(b+1,b+1) \times (1^0+2^0+...+n^0) $$

因为F(b+1,1)=F(b+1,b+1)=1

所以 化简得到

$$(1+1)^b + (2+1)^b + (3+1)^b + ... + (n+1)^b =

(1^b+2^b+...+n^b) + F(b+1,2) \times (1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1)) + ... + F(b+1,b) \times (1^1+2^1+...+n^1) + n$$

好了，我们发现了1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1)出现了，那么就可以算了。将(1^b+2^b+...+n^b) 移左式，得

(n+1)^b - 1 - n = F(b+1,2) \times (1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1)) + ... + F(b+1,b) \times (1^1+2^1+...+n^1)

好了，继续化简，得

1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1) = ((n+1)^b - (n+1) - F(b+1,3) \times (1^(b-2)+2^(b-2)+...+n^(b-2)) - ... - F(b+1,b) \times (1+2+...+n)) / F(b+1,2)

因为F(b+1,2) = b，所以，最终得

1^(b-1)+2^(b-1)+...+n^(b-1) = ((n+1)^b - (n+1) - F(b+1,3) \times (1^(b-2)+2^(b-2)+...+n^(b-2)) - ... - F(b+1,b) \times (1+2+...+n)) / b

我们令 x = b-1，那么b = x+1，得

1^x+2^x+...+n^x = ((n+1)^(x+1) - (n+1) - F(x+2,3) \times (1^(x-1)+2^(x-1)+...+n^(x-1)) - ... - F(x+2,x+1) \times (1+2+...+n)) / (x+1)

好了，我们现在用S(x)表示1^x+2^x+...+n^x

得到公式：

S(1) = 1^1+2^1+...+n^1 = n(n+1) / 2

S(x) = ((n+1)^(x+1) - (n+1) - F(x+2,3) \times S(x-1) - F(x+2,4) \times S(x-2) - ... - F(x+2,x+1) \times S(1)) / (x+1)

（不证明了，自己用归纳证一下）

（另，求优化！有没有O(1)算法，那个(n+1)^(x+1)会耗很多时间= =）

好了。我们将x=2带进去得到1^2+2^2+...+n^2

得到

S(2) = ((n+1)^3- (n+1) - F(4,3) \times S(1)) / 3 = ((n+1)^3- (n+1) - 3 \times (n(n+1) / 2)) / 3 = (n^3 + 3 \times n^2 + 2 \times n - 3 \times n(n+1)/2) / 3 = n \times (2 \times n^2+3n+1) / 6 =n \times (n+1) \times (2 \times n+1) / 6

所以

S(2) = n \times (n+1) \times (2 \times n+1) / 6

即 1^2+2^2+...+n^2 = n \times (n+1) \times (2 \times n+1) / 6

（求大神们指点）