问题描述

今天CZY又找到了三个妹子,有着收藏爱好的他想要找三个地方将妹子们藏起来,将一片空地抽象成一个R行C列的表格,CZY要选出3个单元格。但要满足如下的两个条件:

(1)任意两个单元格都不在同一行。

(2)任意两个单元格都不在同一列。

选取格子存在一个花费,而这个花费是三个格子两两之间曼哈顿距离的和(如(x1,y1)和(x,y2)的曼哈顿距离为|x1-x2|+|y1-y2|)。狗狗想知道的是,花费在minT到maxT之间的方案数有多少。

答案模1000000007。所谓的两种不同方案是指:只要它选中的单元格有一个不同,就认为是不同的方案。

输入格式

一行,4个整数,R、C、minT、maxT。3≤R,C≤4000, 1≤minT≤maxT≤20000。

对于30%的数据,  3 R, C 70。 

输出格式

一个整数,表示不同的选择方案数量模1000000007后的结果。

输入输出样例

输入样例

3 3 1 20000

3 3 4 7

4 6 9 12

7 5 13  18

4000 4000  4000  14000

输出样例

6

0

264

1212

859690013

思路

  一切解释来自于http://www.cnblogs.com/zhber/p/4036003.html

  

1、首先暴力枚举三个点是n^6做法、TLE……

(川汉唐说:这就是我所做的)

2、发现对于三个点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3),如果任意交换坐标费用不变,即如果换成(x2,y1)(x3,y2)(x1,y3)费用不变

所以题意=枚举3个横坐标和三个纵坐标,算合理的方案数

对于x1,x2,x3 , y1,y2,y3,若有x1<x2<x3 , y1<y2<y3,则方案的费用是2(x3-x1)+2(y3-y1).

不妨令x1<x2<x3 , y1<y2<y3,则最后方案数乘6即为答案(由排列组合易得)

枚举x1,y1,令s=2(x1+y1)则满足 minT<=2(x3-x1)+2(y3-y1)<=maxT  即(minT+s)/2<=x3+y3<=(maxT+s)/2的(x3,y3)才可以。则(x3,y3)对答案的更新即是(x2,y2)的个数,即(x3-x1-1)*(y3-y1-1).这样枚举两个点n^4、TLE……

3、限定x3=k,则(minT+s)/2-k<=y3<=(maxT+s)/2-k.且y1+2<=y3<=c.

第三个点(k,???)对答案的更新是(k-x1-1)*Σ[(minT+s)/2-k-y1-1到(maxT+s)/2-k-y1-1]

令S=(minT+s)/2-y1-1,T=(maxT+s)/2-k-y1-1,则对于x3=k,方案是(k-x1-1)*Σ[S-k到T-k]=(k-x1-1)*(S-T+1)*(S+T-2k)

这样枚举x1,y1,x3,效率n^3、TLE……

4、正解是我最后才想出来的。其实这题跟CQOI2014数三角形很像。(x1,y1)和(x3,y3)构成一个矩形,但是对于一个确定的矩形边框,它的费用是一定的,就是2(x3-x1)+2(y3-y1)即矩形的边长。它对答案的贡献也是一定的,即(x3-x1-1)*(y3-y1-1)。这个矩形在r*c的大矩形中出现的次数也是给定的,设矩形长为x,宽为y,则出现了(r-x+1)*(c-y+1)次。那么直接枚举矩形的边长,然后就可以算出答案。这样n^2、AC啦……

5、千古神犇黄巨大指出,可以套上数据结构维护,这样变成nlogn了。这我没写……

源码

川汉唐翻译的PASCAL代码

const mo=;
var ans:int64=;
i,j:longint;
n,m,maxt,mint,w:int64;
begin
readln(n,m,mint,maxt);
for i:= to n do
for j:= to m do
begin
w:=*(i+j-);
if (w<=maxt)and(w>=mint) then
inc(ans,(n-i+)*(m-j+)*(i-)*(j-) mod mo);
end;
writeln(ans* mod mo);
end.

并不受坑题影响的昊哥解出了这道题

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define mod 1000000007 using namespace std; int R,C,minT,maxT; inline int floor(int a)
{
if (a % == ) return a / ;
else return a / + ;
} inline int calc(int a,int b)
{
return ((R - a) * (C - b));
} int main()
{
freopen("excel.out","r",stdin);
freopen("excel.in","w",stdout); scanf("%d%d%d%d",&R,&C,&minT,&maxT);
minT = max( , minT);
maxT = min((R - ) * + (C - ) * , maxT); long long ans = ; int b;
int sum;
long long tmp;
for (int S = floor(minT);S <= maxT / ;S++)
{
for (int a = ;a < R;a++)
{
b = S - a;
if (!(b >= && b < C)) continue;
sum = calc(a,b);
tmp = (a - ) * (b - ) * ;
//tmp = (a - 1) * (b - 1) * 2 + (a - 1) * (b - 1) * 4; tmp %= mod;
ans += tmp * sum;
ans %= mod;
}
}
printf("%d",ans); return ;
}

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