Loj #6503. 「雅礼集训 2018 Day4」Magic

题目描述

前进！前进！不择手段地前进！——托马斯 · 维德

魔法纪元元年。

1453 年 5 月 3 日 16 时，高维碎片接触地球。

1453 年 5 月 28 日 21 时，碎片完全离开地球。

1453 年，君士坦丁堡被围城，迪奥娜拉接触到四维泡沫空间，成为魔法师，最终因高维碎片消失失去魔力而身死。

为了改写这段历史，你不惜耗费你珍藏已久的魔术卡来回到魔法纪元元年。

在使用这些魔术卡之前，你却对它们的排列起了兴趣...

桌面上摆放着 $m$ 种魔术卡，共 $n$ 张，第 $i$ 种魔术卡数量为 $a_i$，魔术卡顺次摆放，形成一个长度为 $n$ 的魔术序列，在魔术序列中，若两张相邻魔术卡的种类相同，则它们被称为一个魔术对。

两个魔术序列本质不同，当且仅当存在至少一个位置，使得两个魔术序列这个位置上的魔术卡的种类不同，求本质不同的恰好包含 $k$ 个魔术对的魔术序列的数量，答案对 $998244353$ 取模。

输入格式

第一行三个整数 $m, n, k$。

第二行 $m$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示 $a_i$。

输出格式

一行一个整数表示答案。

数据范围与提示

对于 $100 \%$ 的数据满足 $1 \leq m \leq 20000, 0 \leq k \leq n \leq 100000, \sum_{i = 1}^{m} a_i = n$。

首先假设同种颜色的卡片是有标号的，因为这样要好做得多。最后算出来的答案还要乘上$\frac{1}{\prod_{i=1}^m {a_i!}}$。

然后就可以考虑容斥了。设$g_i$表示强制有$i$个魔术对的方案数，答案为$\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{k}{i}g_i$。

对于第$i$种卡片，我们要先求出强制要求有$x$对魔术对的方案数。这个问题等价于将$a_i$张卡片分成$a_i-x$个排列，答案为$\frac{a_i!\cdot \binom{a_i-1}{a_i-x-1}}{(a_i-x)!}$。所以对于第$i$中卡片，将其分为$x$个排列的生成函数为

\[f_i(x)=\sum_{j=1}^{a_i}\frac{a_i!\binom{a_i-1}{j-1}}{j!}x^j
\]

将所有的$f$乘起来就得到了$g$，具体实现可以用分治$NTT$。

\[g(x)=\sum_{j=1}^n([x^j]\prod_{i=1}^m f_i(x))\cdot j!\cdot x^j
\]

因为这些排列之间的相对位置也需要确定，所以$p$个排列的方案数要乘上$p!$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 100005

#define M 20005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

int m,n,k;

int a[M];

ll W[20][N<<2];

void pre(int s) {

	for(int i=1;i<=s;i++) {

		int len=1<<i;

		ll t=ksm(3,(mod-1)/len);

		W[i][0]=1;

		for(int j=1;j<=len;j++) W[i][j]=W[i][j-1]*t%mod;

	}

}

void NTT(ll *a,int d,int flag) {

	static int rev[N<<2];

	int n=1<<d;

	for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);

	for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);

	for(int s=1;s<=d;s++) {

		int len=1<<s,mid=len>>1;

		for(int i=0;i<n;i+=len) {

			for(int j=0;j<mid;j++) {

				ll t=flag==1?W[s][j]:W[s][len-j];

				ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;

				a[i+j]=(u+v)%mod;

				a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;

			}

		}

	}

	if(flag==-1) {

		ll inv=ksm(n,mod-2);

		for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;

	}

}

ll fac[N],ifac[N];

ll C(int n,int m) {return n<m?0:fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}

vector<int>st[M],g;

int size[M];

int Find(int L,int R) {

	int l=L,r=R,mid;

	while(l<r) {

		mid=l+r+1>>1;

		if(size[mid]-size[L-1]<=size[R]-size[mid-1]) l=mid;

		else r=mid-1;

	}

	return l;

}

vector<int>solve(int l,int r) {

	static ll A[N<<2],B[N<<2];

	if(l==r) return st[l];

	int mid=Find(l,r),tot=size[r]-size[l-1];

	vector<int>L=solve(l,mid),R=solve(mid+1,r),ans;

	ans.clear();

	int d=ceil(log2(tot+1));

	for(int i=0;i<1<<d;i++) A[i]=B[i]=0;

	for(int i=0;i<L.size();i++) A[i]=L[i];

	for(int i=0;i<R.size();i++) B[i]=R[i];

	NTT(A,d,1),NTT(B,d,1);

	for(int i=0;i<1<<d;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;

	NTT(A,d,-1);

	for(int i=0;i<=tot;i++) ans.push_back(A[i]);

	return ans;

}

bool cmp(int x,int y) {return x<y;}

ll ans;

int main() {

	pre(18);

	m=Get(),n=Get(),k=Get();

	fac[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

	ifac[n]=ksm(fac[n],mod-2);

	for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;

	for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=Get();

	sort(a+1,a+1+m,cmp);

	for(int i=1;i<=m;i++) {

		st[i].push_back(0);

		for(int j=1;j<=a[i];j++) {

			st[i].push_back(C(a[i],j)*fac[a[i]-1]%mod*ifac[j-1]%mod);

		}

	}

	for(int i=1;i<=m;i++) size[i]=size[i-1]+a[i];

	g=solve(1,m);

	for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=g[i]*fac[i]%mod;

	for(int i=0;i<=n-k;i++) {

		if((k-(n-i))&1) ans-=C(n-i,k)*g[i]%mod;

		else ans+=C(n-i,k)*g[i]%mod;

	}

	ans=(ans%mod+mod)%mod;

	for(int i=1;i<=m;i++) ans=ans*ifac[a[i]]%mod;

	cout<<ans;

	return 0;

}