Luogu P3577 [POI2014]TUR-Tourism

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题目链接

题目大意：给出一张\(n\)个点，\(m\)条边的无向图，保证任意两点之间没有点数超过\(10\)的简单路径。选择第\(i\)个点要支付\(C_i\)的代价，要求用最小的代价使得每个点被选择或者与一个被选择的点相邻。

\(n\leq 20000,m\leq 25000,C_i\leq 1000\)。

可以发现，如果原问题是在树上的话就很简单。所以我们先建出\(dfs\)树。因为这是无向图，所以所有的非树边都是返祖边。由题目中那个神奇的性质，我们可以知道，这棵树的深度不超过\(10\)。

于是我们可以状压。设\(f_{i,S}\)表示第\(i\)个点，其祖先的状态为\(S\)的最小代价。

状压的状态有三种：

​ 0：没有选择且没被覆盖

​ 1.没有选择但被覆盖了

​ 2.选择了

转移就有点厉害，据说是泛化背包。

当由\(fa_v\)递归到\(v\)的时候，\(dfs\)序比\(v\)小的点中除了\(v\)到根这条链上都已经被覆盖了。然后将\(f_{fa_v,S}\)的\(DP\)值继承给\(f_{v,S'}\)。继承的时候讨论是否选择\(v\)得到\(S'\)。

一直递归到底后回溯，\(f_{fa_v,S}=\min\{f_{v,S+3^{dep_v}},f_{v,S+2*3^{dep_v}}\}\)。接着递归下一个儿子。这个\(DP\)是按\(dfs\)序来的，当一个点出栈了过后，保证这个点已经被覆盖，无需再考虑。

\(DP\)的结果就是\(\min\{f_{root,1},f_{root,2}\}\)。将每个联通块的答案加起来就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 20005
#define M 25005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,C[N];
struct road {int to,nxt;}s[M<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}
int pw[15];
bool vis[N];
int fa[N],dep[N];

int f[12][60000];
void dfs(int v) {
	vis[v]=1;
	if(dep[v]==0) {
		f[0][0]=0;
		f[0][1]=1e9;
		f[0][2]=C[v];
	} else {
		for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
			int to=s[i].to;
			if(vis[to]) fa[v]|=1<<dep[to];
		}
		for(int S=0;S<pw[dep[v]+1];S++) f[dep[v]][S]=1e9;
		for(int S=0;S<pw[dep[v]];S++) {
			if(f[dep[v]-1][S]>=1e9) continue ;
			bool flag=0;
			for(int i=0;i<dep[v];i++) if((fa[v]>>i&1)&&S/pw[i]%3==2) flag=1;
			f[dep[v]][S+flag*pw[dep[v]]]=min(f[dep[v]][S+flag*pw[dep[v]]],f[dep[v]-1][S]);
			int T=S+2*pw[dep[v]];
			for(int i=0;i<dep[v];i++) if((fa[v]>>i&1)&&S/pw[i]%3==0) T+=pw[i];
			f[dep[v]][T]=min(f[dep[v]][T],f[dep[v]-1][S]+C[v]);
		}
	}
	int flag=0;
	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
		int to=s[i].to;
		if(vis[to]) continue ;
		dep[to]=dep[v]+1;
		dfs(to);
		for(int S=0;S<pw[dep[v]+1];S++) {
			f[dep[v]][S]=min(f[dep[to]][S+pw[dep[to]]],f[dep[to]][S+2*pw[dep[to]]]);
		}
	}
}

int main() {
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++) pw[i]=pw[i-1]*3;
	n=Get(),m=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) C[i]=Get();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int a=Get(),b=Get();
		add(a,b),add(b,a);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(vis[i]) continue ;
		dfs(i);
		ans+=min(f[0][1],f[0][2]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}