在博客中使用LaTeX插入数学公式

在学习机器学习中会接触到大量的数学公式，所以在写博客是会非常的麻烦。用公式编辑器一个一个写会非常的麻烦，这时候我们可以使用LaTeX来插入公式。

写这篇博文的目的在于，大家如果要编辑一些简单的公式，就不必自己写，直接copy过去修改下就能用了。所以下面仅列出些常用的grammar。随着、机器学习的深入会添加更多的相关公式。

LaTeX公式基础

这里的基础嫌烦的话可以先不看，直接看杂例，有不理解的地方在回来看这里的内容。此处知识摘取了一些简单的语法，如果需要完整的LaTeX书写数学公式的文档，见参考文献。

排版方式

行级元素(inline)，行级元素使用 $...$ ，两个$表示公式的首尾。

块级元素(displayed)，块级元素使用$$...$$。块级元素默认是居中显示的。

常用西文符号

\alpha, \beta, …, \omega代表α,β,…ω. 大写字母,使用 \Gamma, \Delta, …, \Omega代表Γ,Δ,…,Ω.

上标与下标

使用 ^和 _ 表示上标和下标. 例如, x_i^2:$x_i^2$ ，\log_2 x: $\log_2 x$。

使用{}来消除二义性——优先级问题。例如10^10:$10^10$，显然是错误的，要显示$10^{10}$,正确的语法应该是10^{10}。同样的，还有个例子，x_i^2:$x_i^2$和x_{i^2}:$x_{i^2}$的区别。

括号

小括号和中括号直接使用，大括号由于用来分组，所以需要转义。\{1+2\}:$\{1+2\}$

运算

分数：\frac{}{}。例如，\frac{1+1}{2}+1: $\frac{1+1}{2}+1$
求和：\sum_1^n:$\sum_1^n$
积分：\int_1^n:$\int_1^n$
极限：lim_{x \to \infty:$\lim_{x \to \infty}$
矩阵：$$\begin{matrix}…\end{matrix}$$，使用&分隔同行元素，\\换行。例如：

$$

        \begin{matrix}

        1 & x & x^2 \\

        1 & y & y^2 \\

        1 & z & z^2 \\

        \end{matrix}

$$

得到的公式为：

\[ \begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
\]

杂例

$$h(\theta)=\sum_{j=0}^n \theta_jx_j$$

\[h(\theta)=\sum_{j=0}^n \theta_jx_j(线性模型)
\]

$$J(\theta)=\frac1{2m}\sum_{i=0}(y^i-h_\theta(x^i))^2$$

\[J(\theta)=\frac1{2m}\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))^2（均方误差\;or\;cost function）
\]

$$\frac{\partialJ(\theta)}{\partial\theta_j}=-\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j $$

\[\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j }=-\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j （批量梯度下降的梯度算法）
\]

$$

f(n) =

    \begin{cases}

    n/2,  & \text{if $n$ is even} \\

    3n+1, & \text{if $n$ is odd}

    \end{cases}

$$

\[f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \text{if $n$ is even} \\
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
\]

$$

\left\{

    \begin{array}{c}

        a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\

        a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\

        a_3x+b_3y+c_3z=d_3

    \end{array}

\right.

$$

\[\left\{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
\]

$$X=\left(

        \begin{matrix}

            x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d}\\

            x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2d}\\

            \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

            x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{md}\\

        \end{matrix}

    \right)

    =\left(

         \begin{matrix}

                x_1^T \\

                x_2^T \\

                \vdots\\

                x_m^T \\

            \end{matrix}

    \right)

$$

\[X=\left(
\begin{matrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d}\\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2d}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{md}\\
\end{matrix}
\right)
=\left(
\begin{matrix}
x_1^T \\
x_2^T \\
\vdots\\
x_m^T \\
\end{matrix}
\right)
\]

$$

\begin{align}

\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}

& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i)) \\

& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^i-y^i) \\

& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j

\end{align}

$$

\[\begin{align}
\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j}
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i)) \\
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_jx_j^i-y^i) \\
& = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))x^i_j
\end{align}
\]

总结

本文主要写了些用LaTeX来写数学公式的方法以及几个例子。杂例的前3个可以看到是用梯度法解决线性模型的几个公式，后面的几个是随意摘取的，尽可能包含大部分LaTeX的用法。杂例会在我学习机器学习的过程中不断添加，希望可以给大家带来方便吧。下面的参考文献包含了中英文，几乎包含了所有LaTeX书写数学公式的语法，有需要的可以去看看。

参考文献