[LOJ 2083][UOJ 219][BZOJ 4650][NOI 2016]优秀的拆分

题意

给定一个字符串 $S$, 求有多少种将 $S$ 的子串拆分为形如 AABB 的拆分方案

$|S|\le 30000$ ($95\%$ 数据 $|S|\le 2000$)

题解

考场上遇见这题直接打95分暴力哈希跑路就完事了吧

$O(n^2)$ 暴力就直接枚举所有子串看它是不是 AA 型的, 在左右端点处分别标记一下, 然后枚举断点把两边的方案数乘起来就完事了.

考虑优化这个暴力. 我们枚举这个 AA 串中 A 的长度 $l$, 然后每隔 $l$ 取一个关键点, 那么每个 AA 串必然会覆盖两个关键点. 对于每对相邻的关键点 $a$ 和 $b$, 我们计算 $p=\operatorname{LCP}(S[a:],S[b:])$ 以及 $s=\operatorname{LCS}(S[:a-1],S[:b-1])$ . 那么只要 $p+s\ge l$ 就会有 AA 串出现. 画画图可以发现 $[a-s,a-(l-p)]$ 都可以是 AA 串的左端点. 直接在差分数组上修改左右端点就可以了. 注意只能计算同时包含这两个相邻的关键点的 AA 串, 所以应该和 $[a-l+1,a]$ 取交集. 算完之后前缀和一下按照 $O(n^2)$ 暴力里的操作算最终答案就可以了.

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN=1e5+10;

typedef long long intEx;

struct SuffixArray{

	char s[MAXN];

	int SA[MAXN];

	int rank[MAXN];

	int stmin[20][MAXN];

	int* height=stmin[0];

	void Build();

	int LCP(int,int);

};

SuffixArray pf,sf;

int n;

int lg[MAXN];

int cnt[MAXN];

char buf[MAXN];

int lcnt[MAXN];

int rcnt[MAXN];

int* x=new int[MAXN];

int* y=new int[MAXN];

int LCP(int,int);

int LCS(int,int);

int main(){

	int T;

	scanf("%d",&T);

	for(int i=2;i<MAXN;i++)

		lg[i]=lg[i>>1]+1;

	while(T--){

		scanf("%s",buf+1);

		n=strlen(buf+1);

		for(int i=1;i<=n;i++)

			pf.s[i]=sf.s[n-i+1]=buf[i];

		pf.Build();

		sf.Build();

		memset(lcnt,0,sizeof(int)*(n+1));

		memset(rcnt,0,sizeof(int)*(n+1));

		for(int len=1;(len<<1)<=n;len++){

			for(int a=1,b;(b=a+len)<=n;a=b){

				int p=LCP(a,b);

				int s=LCS(a-1,b-1);

				if(p+s>=len){

					int l=std::max(a-len+1,a-s);

					int r=std::min(a-(len-p),a);

					++lcnt[l];

					--lcnt[r+1];

					++rcnt[l+(len<<1)-1];

					--rcnt[r+(len<<1)];

				}

			}

		}

		for(int i=1;i<=n;i++){

			lcnt[i]+=lcnt[i-1];

			rcnt[i]+=rcnt[i-1];

		}

		intEx ans=0;

		for(int i=1;i<n;i++)

			ans+=1ll*rcnt[i]*lcnt[i+1];

		printf("%lld\n",ans);

	}

	return 0;

}

int LCP(int a,int b){

	return pf.LCP(a,b);

}

int LCS(int a,int b){

	return sf.LCP(n-a+1,n-b+1);

}

int SuffixArray::LCP(int a,int b){

	if(a<1||a>n||b<1||b>n)

		return 0;

	else if(a==b)

		return n-a+1;

	else{

		a=rank[a];

		b=rank[b];

		if(a>b)

			std::swap(a,b);

		int p=lg[b-a];

		++a;

		return std::min(stmin[p][a],stmin[p][b-(1<<p)+1]);

	}

}

void SuffixArray::Build(){

	int m=127;

	memset(x,0,sizeof(int)*(n+2));

	memset(y,0,sizeof(int)*(n+2));

	memset(cnt,0,sizeof(int)*(m+1));

	for(int i=1;i<=n;i++)

		++cnt[x[i]=s[i]];

	for(int i=1;i<=m;i++)

		cnt[i]+=cnt[i-1];

	for(int i=n;i>=1;i--)

		SA[cnt[x[i]]--]=i;

	for(int k=1;k<n;k<<=1){

		int p=0;

		for(int i=n-k+1;i<=n;i++)

			y[++p]=i;

		for(int i=1;i<=n;i++)

			if(SA[i]>k)

				y[++p]=SA[i]-k;

		memset(cnt,0,sizeof(int)*(m+1));

		for(int i=1;i<=n;i++)

			++cnt[x[i]];

		for(int i=1;i<=m;i++)

			cnt[i]+=cnt[i-1];

		for(int i=n;i>=1;i--)

			SA[cnt[x[y[i]]]--]=y[i];

		std::swap(x,y);

		x[SA[1]]=1;

		p=1;

		for(int i=2;i<=n;i++)

			x[SA[i]]=(y[SA[i]]==y[SA[i-1]]&&y[SA[i]+k]==y[SA[i-1]+k])?p:++p;

		if(p>=n)

			break;

		m=p;

	}

	for(int i=1;i<=n;i++)

		rank[SA[i]]=i;

	int k=0;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(rank[i]==1)

			continue;

		if(k)

			--k;

		int j=SA[rank[i]-1];

		while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k])

			++k;

		height[rank[i]]=k;

	}

	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){

		for(int j=2;j<=n;j++){

			stmin[i][j]=stmin[i-1][j];

			if(j+(1<<(i-1))<=n)

				stmin[i][j]=std::min(stmin[i][j],stmin[i-1][j+(1<<(i-1))]);

		}

	}

}