神奇的矩阵 NOI模拟题

神奇的矩阵

题目大意

有一个矩阵\(A\)，第一行是给出的，接下来第\(x\)行，第\(y\)个元素的值为数字\(A_{x-1,y}\)在\(\{A_{x-1,1},A_{x-1,2},A_{x-1,3},\cdots,A_{x-1,y}\}\)出现的次数。

现在有修改及询问操作：

• 修改第一行的一个元素
• 询问矩阵某个位置的值

要点

这个矩阵果然神奇，第\(x(x\geq 4)\)和第\(x-2\)行是一样的。这个举个例子就知道了。

现在，我们只需要关心前\(3\)行就可以了。

算法1

这个是标答。

先分块，然后维护两个数组：

• sum1[i][j]：第\(1\)行，前\(i\)块数字\(j\)出现了多少次（由于第一行的数字可能很大，我们可以离散化）。
• sum2[i][j]：第\(2\)行，前\(i\)块数字\(j\)出现了多少次。

先看修改：

当一个地方的数字改变时，假设由\(a\)变为\(b\)：

sum1直接搞搞就好。我们来看看sum2：

举个例子：假设第一行是这样的

b a c a | a a a d | d a d a a a
1 1 1 2   3 4 5 1   2 6 3 7 8 9

|表示分块，假设第\(6\)个数由\(a\)变为\(b\)，我们来看看第\(2\)行的变化：

b a c a | a b a d | d a d a a a
1 1 1 2   3 2 4 1   2 5 3 6 8 7

再简单一点，我们看看关于数字\(a\)的变化：

* a * a | a a a * | * a * a a a
* 1 * 2   3 4 5 *   * 6 * 7 8 9

* a * a | a # a * | * a * a a a
* 1 * 2   3 # 4 *   * 5 * 6 7 8

这样我们就可以知道去掉一个数该如何修改sum1了：假设这个数在第\(i\)块，那么对于所有的\(j\geq i\)，第\(j\)块只是少了一个数，减去就好了。添加一个数同理。有了删除和添加，那么修改=删除+添加。

再看询问，这个有了那两个数组，怎么搞都可以吧！

算法2

莫队算法。

每个状态为\((y, k)\)，表示经历了\(k\)个操作之后，处在第\(y\)列。我们要维护第一行前\(y\)个数每个数字各出现了多少次，以及第二行前\(y\)个数每个数字各出现了多少次（这个可以利用算法1的手段）。

然后采用经典的莫队做法，时间复杂度：\(O(n \sqrt n)\)。

感觉自己对莫队算法的思想了解还不够。。