神奇的矩阵

题目大意

有一个矩阵\(A\),第一行是给出的,接下来第\(x\)行,第\(y\)个元素的值为数字\(A_{x-1,y}\)在\(\{A_{x-1,1},A_{x-1,2},A_{x-1,3},\cdots,A_{x-1,y}\}\)出现的次数。

现在有修改及询问操作:

  • 修改第一行的一个元素
  • 询问矩阵某个位置的值

要点

这个矩阵果然神奇,第\(x(x\geq 4)\)和第\(x-2\)行是一样的。这个举个例子就知道了。

现在,我们只需要关心前\(3\)行就可以了。

算法1

这个是标答。

先分块,然后维护两个数组:

  • sum1[i][j]:第\(1\)行,前\(i\)块数字\(j\)出现了多少次(由于第一行的数字可能很大,我们可以离散化)。
  • sum2[i][j]:第\(2\)行,前\(i\)块数字\(j\)出现了多少次。

先看修改:

当一个地方的数字改变时,假设由\(a\)变为\(b\):

sum1直接搞搞就好。我们来看看sum2

举个例子:假设第一行是这样的

b a c a | a a a d | d a d a a a
1 1 1 2 3 4 5 1 2 6 3 7 8 9

|表示分块,假设第\(6\)个数由\(a\)变为\(b\),我们来看看第\(2\)行的变化:

b a c a | a b a d | d a d a a a
1 1 1 2 3 2 4 1 2 5 3 6 8 7

再简单一点,我们看看关于数字\(a\)的变化:

* a * a | a a a * | * a * a a a
* 1 * 2 3 4 5 * * 6 * 7 8 9
* a * a | a # a * | * a * a a a
* 1 * 2 3 # 4 * * 5 * 6 7 8

这样我们就可以知道去掉一个数该如何修改sum1了:假设这个数在第\(i\)块,那么对于所有的\(j\geq i\),第\(j\)块只是少了一个数,减去就好了。添加一个数同理。有了删除和添加,那么修改=删除+添加

再看询问,这个有了那两个数组,怎么搞都可以吧!

算法2

莫队算法。

每个状态为\((y, k)\),表示经历了\(k\)个操作之后,处在第\(y\)列。我们要维护第一行前\(y\)个数每个数字各出现了多少次,以及第二行前\(y\)个数每个数字各出现了多少次(这个可以利用算法1的手段)。

然后采用经典的莫队做法,时间复杂度:\(O(n \sqrt n)\)。

感觉自己对莫队算法的思想了解还不够。。

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