NOI08冬令营 数据结构的提炼与压缩

无聊随手翻，翻到了一个这样的好东西——据结构的提炼与压缩：

为了防止以后忘记，这里把论文里的题目都纪录一下吧。

1．二维结构的化简

问题一：ural 1568 Train car sorting

定义一个对序列的操作：将这个序列分成两个，然后首尾连起来（我知道我描述得不清楚，自己想一下就好），例子：5 3 2 4 1分成3 4 1和5 2，然后变成3 4 1 5 2。

求将一个排列变成一个升序序列需要进行的操作次数。

我觉得不需要像论文一样弄一个什么母矩阵。我觉得可以给一个序列中每个元素一个高度（其实本质还是一样的，囧），比如5 3 2 4 1就有

5---
-3-4
--2-
---1

我们要让最高的高度越小，并且每一行都是一个升序序列。

然后论文就给出了一个算法，但没有说怎样思考得来的。这个算法确实很美妙。什么，你问我算法是什么？在论文里。时间复杂度：\(O(n \log n)\)

问题二：CEOI 2007 Day 2 Necklaces

我就觉得这题就是一个Trie的进化版。

2．树形结构的化简

问题三：浙江2007年省选 捉迷藏

将树变成括号序列。

比如这棵树：

我们可以得到一个这样的序列：[A[B[E][F[H][I]]][C][D[G]]]

考察两个结点，如E和G，取出介于它们之间的那段括号编码 ：]{()()}]()[[

把匹配的括号去掉，我们看到\(2\)个]和\(2\)个[，也就是说，在树中，从E向上爬\(2\)步，再向下走\(2\)步就到了G。

对于介于两个节点间的一段括号编码S，可以用一个二元组\((a,b)\)描述它，即这段编码去掉匹配括号后有\(a\)个]和b个[

这样，就得到了一个十分有用的结论：

当\(a2<b1\)时\((a,b)= (a1-b1+a2, b2)\)，当\(a2 \geq b1\)时\((a,b)=(a1, b1-a2+b2)\)。

由此，又得到几个简单的推论：

\(a+b=a1+b2+|a2-b1|=max((a1-b1)+(a2+b2),(a1+b1)-(a2+b2))\)

\(a-b=a1-b1+a2-b2\)

\(b-a=b2-a2+b1-a1\)

然后就可以用线段树搞搞了。时间复杂度：\(O(n \log n)\)

问题四：2005年国家集训队何林论文 树的统计

问题描述：给定一棵含有\(n\)个节点的树，所有的节点分别编号为\(1, 2, 3, …, n\)。对于编号为\(v\)的节点，定义\(t(v)\)为\(v\)的后代中所有编号小于\(v\)的节点个数。求\(t(1), t(2), t(3), …, t(n)\)。

这题的算法太美妙了！

我们求这棵树的DFS序和逆DFS序。

DFS序：7 10 14 2 13 1 9 11 6 5 8 3 15 12 4

逆DSF序：7 4 3 12 15 9 6 8 5 11 1 10 14 13 2

然后用神奇的加减法就可以得到\(t(v)\)了：

\(t(v)=f(v,\)DFS序列中\(v\)之后的部分\()+f(v,\)逆DFS序列中\(v\)之后的部分\()+f(v,\)\(v\)的所有祖先\()-v+1\)

然后用个栈和树状数组搞搞就算出来了。时间复杂度：\(O(n \log n)\)

其实我觉得可以用DFS序和Splay就可以搞出来了，囧。

问题五：问题二的遗留问题

说实话，我觉得论文里的”超级父亲“好像比较显然。

3．图结构的化简

问题六：ural 1557 Network Attack

给定一个无向连通图，若从中删去两条边能使它不连通，求所有这样的方案的总数。图点数n边数m。

先做一棵DFS树，满足条件的两条边有且只有以下两种情况：

问题七：ural 1569 Networking the “Iset”

问题描述：输入一个无向图\(G=(V,E)\)，求这个图的直径最小生成树。

首先有个很有价值的结论：当属的直径长为偶数，树的中心是唯一；当树的直径长为奇数，树的中心是唯二的。

证明：定义：l(v)=max{d(u,.v)|u,v是一个图中的点}。当树的直径为2d。设有一条直径是AB，AB中点是P。一方面，对于任意一个点C，设AB上距离C最近的点位Q，不妨Q在AP上，则CP=BC-BP≤AB-BP=d ，同时AP=BP=d ，所以l(P)= d。另一方面，对于任意一个不是P的点C，设AB上距离C最近的点位Q，不妨Q在AP上，则BC=BP+PQ+QC>d ，所以l(C)>d 。所以，P就是这棵树的唯一的中心。

奇数同理。

然后我们可以枚举中心了，之后来一个BFS树即可。