GDKOI2016

天若有情天亦老 月若无恨月常圆

Day1

score
cardcaptor   AAAAAAAATT
protal       WWWWWWWWWW
treasurehunt AAAAWXXXXX
map          AAATTTTTTT

cardcaptor

首先需要拆位做。

然后用线段树维护，对于区间\([l,r]\)需要记录的信息有：

• \(0\)和\(1\)的个数。
• 询问该区间的结果。

这样就可以轻松合并两个区间了。可惜常数比较大。

还有一种做法，十分精巧，基于该事实：令\(s_i\)表示\(\text{xor}_{j=0}^i a_j\)，区间\([l,r]\)的异或和等于\(s_r \text{xor} s_{l-1}\)。

若询问\([l,r]\)的答案，仅需要查询\(s_{l-1\cdots r}\) \(0\)和\(1\)的个数。所以只需要维护\(s\)，当然需要懒标记。

protal

表示我不会做期望题。。。

这题主要是从同一个地点有多个出发的门的问题，这个问题处理很经典，就略过了。^-^

treasurehunt

典型的最大权闭合子图。

map

典型的类插头DP。数据范围较小，随意做。

Day2

score
coloring  AAAWWWWWWW
qt        AAAAAAAAAA
necklace2 AAAAAAAAAA
math      WWWWWWWWWW

coloring

经典的博弈论。

qt

经典的数位DP。

necklace2

题目等价于，选出两个相邻的回文串，使得他们的长度和最长。

问题难在长度和超过了n怎么办。

我们可以枚举第一个中心，然后找到最长的回文串作为第一个回文串，然后在该回文串右边拼接一个最长的但和第一个加起来长度不超过n的回文串。

反证法可以证明正确性。

math

先补点常识：

• 一个数最多只有一个逆元，反证法证明。
• \[{a \over p} \mod p^k = {a \mod p^{k+1}\over p}\]
• \[{1 - x^{n+1}\over 1 - x} = \sum_{i=1}^n x^i\]
• 求\[\sum_i i^k\]可以用矩阵乘法或什么“伯努利数”。

然后，设\(f(n, p, k)\)为原问题，先把与p不互质的递归处理。

\[f(n,p,k) = f(n / p, p, k + 1) / p + ans\]，这里的\(ans\)是与\(p\)互质的。

设\(i=ap + b\)，那么有

\[{1 \over i} = {1\over ap+b}\]
\[={1\over b}{1 \over 1 - (- {ap \over b})}\]
\[={1\over b}{1 - ({ap \over b})^k \over 1 - (- {ap \over b})}\]
\[={1\over b}\sum_{i=1}^{k-1}({ap \over b})^k\]

然后用乱搞就可以了。

这里有个黑科技：

ll multiply(const ll &a, const ll &b, const ll &MOD) {
  /*
  ll ret = 0;
  ll s = a;
  for (ll i = b; i; i >>= 1) {
    if (i & 1) ret = (ret + s) % MOD;
    s = (s << 1) % MOD;
  }
  return ret;
  */
  ll t = (ll) ((double) a * b / MOD);
  ll ret = a * b - t * MOD;
  return (ret % MOD + MOD) % MOD;
}