【BZOJ】1101: [POI2007]Zap（莫比乌斯+分块）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

无限膜拜数论和分块orz

首先莫比乌斯函数的一些性质可以看《初等数论》或《具体数学》或贾志鹏的《线性筛法和积性函数》

我写一些笔记啥的吧。。

首先莫比乌斯函数的定义及一些性质（免去证明）：

$$
\mu (n) =
\begin{cases}
1 & n=1\\
(-1)^k & n=p_1p_2 \cdots p_k，质因子指数均为1且互不相同 \\
0 & 其余情况\\
\end{cases}
$$

按照定义线性筛的话很容易预处理出来，我就不阐述了。

然后是性质：

$$ \sum_{d|n} \mu (d) = [n=1]$$

反演的话暂时还没学orz

然后本题要求

$$\sum_{1<=x<=a} \sum_{1<=y<=b} [(x, y)=d]$$

那么我们化简，首先根据$(a, b)=x \Leftrightarrow (da, db)=dx$，那么本题就是要求

$$\sum_{1<=x<=a'} \sum_{1<=y<=b'} [(x, y)=1]，其中a'=a/d, b'=b/d$$

继续化简，根据$\sum_{d|n} \mu (d) = [n=1]$

$$\sum_{1<=x<=a'} \sum_{1<=y<=b'} \sum_{d|(x, y)} \mu (d)$$

将和式提前且根据$a|(x, y) \Leftrightarrow a|x, a|y$，有

$$\sum_{1<=d<=min\{a', b'\}} \mu (d) \sum_{1<=x<=a'且d|x} \sum_{1<=y<=b'且d|y} 1$$

可以看出原式为：

$$\sum_{1<=d<=min\{a', b'\}} \mu (d) \lfloor \frac{a'}{d} \rfloor \times \lfloor \frac{b'}{d} \rfloor$$

而我们发现，$\lfloor \frac{a'}{d} \rfloor$只有$2\sqrt{a'}$种（即有那么多个商），b'同理，因此我们可以分块！

每一次计算同一个商的所有数。而因为是和式，我们可以维护个前缀和变成乘法！

而计算出当前商的下一个商很巧妙！

pos=min(a'/(a'/now), b'/(b'/now))，是当前除数，pos是当前商的最后一个除数，pos+1则是下一个除数（使得不同于现在的商）！

//其实不就是$\lfloor \frac{a'}{now} \rfloor = \lfloor \frac{a'}{pos} \rfloor$么。。

因为n/now得出当前商后，再除n，可以得到所有商为n/now的数的最后一个数，，，，，，很简单的小学题QAQorz

于是问题解决了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)

const int N=50015;
int mu[N], p[N], np[N], cnt, sum[N];
void init() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2; i<N; ++i) {
		if(!np[i]) p[++cnt]=i, mu[i]=-1;
		for(int j=1; j<=cnt && i*p[j]<N; ++j) {
			int t=i*p[j];
			np[t]=1;
			if(i%p[j]==0) { mu[t]=0; break; }
			mu[t]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1; i<N; ++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

int main() {
	int a, b, d, n=getint();
	init();
	while(n--) {
		read(a); read(b); read(d);
		a/=d, b/=d;
		int l=min(a, b), pos;
		ll ans=0;
		for(int i=1; i<=l; i=pos+1) {
			pos=min(a/(a/i), b/(b/i));
			ans+=(ll)(sum[pos]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

　　

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Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

Source