浅谈博弈论中的两个基本模型——Bash Game&&Nim Game

最近在数学这一块搞了蛮多题目，已经解决了数论基础，线性代数（只有矩阵，行列式待坑），组合数学中的一些简单问题。所以接下来不可避免的对博弈论这一哲学大坑开工。

当然，由于我很菜，所以也只能从最基础最容易的部分讲起了。

这次主要介绍两个基本模型：Bash Game&&Nim Game，还是比较经典的

下面开始讲

1.Bash Game

Bash Game(巴什博弈)是一种零基础的入门题目，它的基本模型大概是这样的：

一堆石子共n个，两人轮流从中取石子，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜。问两人博弈，他们都采用最聪明的策略，问最后谁可以必胜。

首先我们从小开始分析：

• 当m>=n时，先手可以一把抓完石子，这样先手必胜

• 当n=m+1时，先手无论怎么抓，都会留下1~m个石子，这样后手一把就可以抓完，这样先手必败

• 当m+1<n<2*(m+1)时，先手只要抓适当的石子就可以剩下m+1个石子，然后后手必输，那么先手必胜

• 当n=2*(m+1）时，后手可以采取这种策略，当先手抓x个时，后手就抓m+1-x个，这样就会把m+1的情况送给先手，那么先手必败

• ......

所以通过上面的分析我们很容易得出：当n%(m+1)==0时，先手必败；否则先手必胜

这个很简单吧，因为谁先面对k*(m+1)(k为正整数)这种局面就必定失败。因为一方可以每次让你们两个取得石子和为m+1导致另一方失败。

这个问题还有一些变形，比较经典的就是：把一个数从0开始不断增加，每次增加的范围都是1~k，谁先让数增加到n就Win||Lose

这个直接转化为Bash Game做一下即可

这里给几道例题&&CODE（以下例题都来自HDU）

1846

Bash博弈的板子题，直接上即可

CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
int t,n,m;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=tc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=tc();
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    read(t);
    while (t--)
    {
        read(n); read(m);
        puts(n%(m+1)?"first":"second");
    }
    return 0;
}

2149

这就是那种变式的情况，我们转化一下在做转化个屁，至于输出方案的话特判一下即可

CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
inline void write(int x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
    register int i;
    while (scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {
        if (n>=m)
        {
            for (i=m;i<n;++i)
            write(i),putchar(' '); write(n); putchar('\n');
        } else
        if (m%(n+1)) write(m%(n+1)),putchar('\n'); else puts("none");
    }
    return 0;
}

2138

同上，Bash Game直接上即可

CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
int t,n,m;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=tc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=tc();
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    read(t);
    while (t--)
    {
        read(n); read(m);
        puts(n%(m+1)?"Grass":"Rabbit");
    }
    return 0;
}

4764

这道题就注意一下大于等于n你就输了，所以n要减一

CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=tc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=tc();
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    for (;;)
    {
        read(n); read(m);
        if (!n&&!m) break;
        puts((n-1)%(m+1)?"Tang":"Jiang");
    }
    return 0;
}

2.Nim Game

这其实是Bash Game的进化版，但是思维深度上了好几个台阶

首先我们看基本模型：

地上有n堆石子，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

这是不是很复杂，首先我们考虑数据小的情况：

• 只有一堆石子时，除非没有石子，否则先手一把抓完即可

• 有两堆石子时，后手只需要跟随先手的动作即可

• ......（后面的根本分析不出来好吧）

但是在我们之前已经有大神成功证明了一个神奇的结论：

当n堆石子的数量异或和等于0时，先手必败，否则先手必胜

证明请移步至attack dalao's blog

很懵逼对吗其实我也是，那么让我们来感性理解一下（以下的说明仅为个人理解，几乎没有任何理论依据，请选择阅读）

首先由于全部都是0的时候就失败了，所以我们可以认为当它们的异或和为0就是必败态

这样我们先手是如果异或和为0那么就输了

如果不是呢，我们就可以通过一种猥琐的方法来获胜（就是上面讲的方法）

我们可以形象地认为它与Bash Game中先手先取得只剩下k*(m+1)然后通过让和始终为m+1来取胜

然后这就是神奇的Nim Game

这里有一道模板题Luogu P2197 nim游戏

由于就是裸的Nim Game，这里就直接上CODE了

#include<cstdio>
using namespace std;
int t,n,x,tot;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=tc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=tc();
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(t);
    while (t--)
    {
    	for (read(n),tot=0,i=1;i<=n;++i)
		read(x),tot^=x;
		puts(tot?"Yes":"No");
	}
    return 0;
}

当然这只是博弈论的入门，一些真正强力的东西如SG函数&&MINMAX等东西还是一脸懵逼