BZOJ5286: [Hnoi2018]转盘 (线段树)

题意

给你绕成一圈的物品共 \(n\) 个 , 然后从其中一个开始选 , 每次有两种操作 ,

一是继续选择当前物品 , 二是选择这个后一个物品 .

选择后一个物品要求当前的时刻大于后一个的 \(T_i\) . 第一次选择的时候也要满足这个条件 .

求选完所有物品的最小时间 .

并且有 \(m\) 次修改 , 每次修改一个点的 \(T_i\) , 修改后询问当前的答案 .

部分点要求强制在线 .

\((n \le 100000 , m \le 100000 , T_i \le 100000)\)

题解

首先化环为链 .

然后我们枚举一个起点 , 然后考虑它的答案是什么 .

假设起点后面有点 \(i\) 那么令 \(L_i\) 为 \(T_i\) 与从 \(i+1\) 到当前终点的长度和 .

不难发现 其实就是这个序列中的 \(L_i\) 的最大值就是当前枚举起点的答案 .

这是因为 , 我们考虑从一个点后继续走 , 那么如果当前是最大的 , 就一下可以走到底 .

不是的话也没关系 , 因为我们就是当前起点求最大值耗费就行了.

然后我们要求最小的时间 .

写出式子就有

\[\displaystyle \min _{beg = 1} ^{n} \{\max_{i=beg}^{beg+n-1} (T_i+((beg+n-1)-i))\}
\]

令 \(P_i = T_i - i\) .

我们简单整理就得到

\[\displaystyle (n-1)+\min_{beg=1}^{n} \{beg+\max_{i=beg}^{2 n}P_i\}
\]

此处后面 \(\max\) 维护的终点可以到 \(2n\) . 为什么呢? 因为后面的会循环前面的 \(T_i\) 但 \(i\) 变大 , 所以不会影响 \(\max\) 的答案.

如何考虑动态维护这个式子呢 ?

不难发现这个和 楼房重建 很像... 可考试的时候我并没有做过 , 只听过 ,

那么就愉快的只维护了后面 \(\max\) 2333

我们考虑用线段树维护两个东西 假设当前区间为 \([l,r]\) 中点为 \(mid\).

1. \(\displaystyle \min_{i=l}^{mid} \{i + \max_{j = i} ^{r} P_j\}\) .
2. \(\displaystyle \max_{i=l}^r P_i\) .

第二个很好维护 , 主要是第一个如何维护 并且 为什么要维护 .

我们对于任意一个区间 考虑维护这个东西 , 需要将左边很多区间进行考虑 , 是否能优化当前答案 .

假设 \(\displaystyle \max_{i=mid + 1}^{r} P_i = v\) .

那么我们考虑另外一个区间 \([l', r']\) 此处 \(r' \le mid\) .

1. 如果 \(\displaystyle v \ge \max_{i=mid'+1} ^{r'} P_i\) 那么显然当前的最优答案在 \([l',mid']\)

   为什么呢 因为他们的 \(\max\) 一样 那么下标越小越优 .

2. 如果 \(\displaystyle v < \max_{i=mid'+1} ^{r'} P_i\) 那么当前的答案在左右两个区间都是可能的 ,

   但左区间的答案我们之前已经计算过了并且 \(\max\) 不会进行改变 所以可以直接用

   右区间的我们继续递归下去计算就行了

有一个细节 就是到底了后 \(l'+1+v\) \((l' != mid)\) 也可以是最优解

因为当前递归到最底层时的 \(\max\) 可能很大 不够优秀..

为什么要维护这个呢 , 因为通过小的区间 , 我们可以逐渐维护出更大的区间的答案 , 并且不会漏掉情况 .

然后时间复杂度就是 \(O(n \log ^ 2 n)\) .

\([n+1,2n]\) 的这个 \(\min\) 没必要维护 常数可以除以 \(2\) ... (目前 \(BZOJ \ rk2\) )

代码

/**************************************************************
    Problem: 5286
    User: zjp_shadow
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:3472 ms
    Memory:17080 kb
****************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++ i)
#define Fordown(i, r, l) for (int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
inline bool chkmax(int &a, int b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

int n, m, p;

const int N = 1e5 + 1e3, inf = 0x3f3f3f3f;

#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r
struct Segment_Tree {
    int maxv[N * 20], minv[N * 20];

    int Query(int o, int l, int r, int qr, int qv) {
        if (l == r) return min(l + max(maxv[o], qv), l == qr ? inf : l + 1 + qv);
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (qv >= maxv[o << 1 | 1]) return Query(lson, qr, qv);
        return min(minv[o], Query(rson, qr, qv));
    }

    void Update(int o, int l, int r, int up, int uv) {
        if (l == r) { maxv[o] = uv; return; }
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (up <= mid) Update(lson, up, uv); else Update(rson, up, uv);
        maxv[o] = max(maxv[o << 1], maxv[o << 1 | 1]);
        if (l <= n) minv[o] = Query(lson, mid, maxv[o << 1 | 1]);
    }
} T;

int ans;

int main() {
    n = read(); m = read(); p = read();
    For (i, 1, n) {
        int val = read();
        T.Update(1, 1, n * 2, i, val - i);
        T.Update(1, 1, n * 2, i + n, val - (i + n));
    }

    int x = 0, y = 0;
    For (i, 0, m) {
        if (i) x = read() ^ (p * ans), y = read() ^ (p * ans);
        if (x) T.Update(1, 1, n * 2, x, y - x), T.Update(1, 1, n * 2, x + n, y - (x + n));
        ans = T.minv[1] + n - 1;
        printf ("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}