[HAOI2015]按位或(min-max容斥,FWT,FMT)
题目链接:洛谷
题目大意:给定正整数 $n$。一开始有一个数字 $0$,然后每一秒,都有 $p_i$ 的概率获得 $i$ 这个数 $(0\le i< 2^n)$。一秒恰好会获得一个数。每获得一个数,就要将我们有的数与获得的数进行按位或。问期望经过多少秒后,我们的数变成 $2^n-1$。
$1\le n\le 20,\sum p_i=1$。
%%%stO shadowice1984 Orz%%%
首先定义 $\min(S)$ 表示 $S$ 中第一个变为 $1$ 的元素的时间。(其中 $S$ 是一个二进制数,是 $1$ 的位表示这一位计入答案)
$\max(S)$ 表示最后一个变为 $1$ 的元素的时间。这也符合 $\min$ 和 $\max$ 的定义。
(以下定义全集 $U=2^n-1$)
我们要求的就是 $E(\max(U))$。
容斥:$E(\max(U))=\sum\limits_{S\neq\varnothing}(-1)^{|S|+1}E(\min(S))$
现在问题就是求 $E(\min(S))$,就是有元素变为 $1$。
套期望的公式:$E(\min(S))=\sum\limits^{+\infty}_{i=1}iP(\min(S)=i)$
$P(\min(S)=i)$ 表示恰好在第 $i$ 秒出现 $1$ 的概率。
前 $i-1$ 秒都没有出现,所以应该是 $\sum\limits_{T\cap S=\varnothing}P(T)$。其中 $P(T)$ 表示出现的数是 $T$ 的概率。
第 $i$ 秒有出现,所以应该是 $1-\sum\limits_{T\cap S=\varnothing}P(T)$。
乘法原理,$P(\min(S)=i)=(\sum\limits_{T\cap S=\varnothing}P(T))^{i-1}(1-\sum\limits_{T\cap S=\varnothing}P(T))$
那么经过一通爆算,$E(\min(S))=\dfrac{1}{1-\sum\limits_{T\cap S=\varnothing}P(T)}$。
转换一下:$E(\min(S))=\dfrac{1}{1-\sum\limits_{T\subseteq\complement_US}P(T)}$。
现在最严峻的问题就是计算每个集合的子集和。
最裸的枚举,$O(4^n)$。
技巧一点的枚举,$O(3^n)$。
那么就要说到一个很有趣的事情了,我也是做了这题才知道的……
回想一下FWT(或者FMT)做按位或卷积的时候:
$C_i=\sum\limits_{j|k=i}A_jB_k$
令 $\widehat{C}_i=\sum\limits_{j\subseteq i}C_j$
那么就有 $\widehat{C}_i=\sum\limits_{j|k\subseteq i}A_jB_k$
也就是 $\widehat{C}_i=\sum\limits_{j\subseteq i,k\subseteq i}A_jB_k$
也就是 $\widehat{C}_i=\widehat{A}_i\widehat{B}_i$!
于是需要一种从 $A$ 到 $\widehat{A}$ 的变换还有它的逆变换。
于是就有了FWT(或者FMT)……
(所以说,FWT比FFT要好理解,那就要理解啊)
那么我们就知道了,FWT的或变换一次后新的序列就是原序列的子集和形式!
好的,时间复杂度 $O(n2^n)$。
代码:(实际上特别好写)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
char ch=getchar();int x=,f=;
while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,cnt[maxn];
double p[maxn];
void FWTor(double *A){
for(int i=;i<<<n;i<<=)
for(int j=,r=i<<;j<<<n;j+=r)
FOR(k,,i-) A[i+j+k]+=A[j+k];
}
int main(){
n=read();
FOR(i,,(<<n)-) scanf("%lf",p+i);
FWTor(p);
FOR(i,,(<<n)-) cnt[i]=cnt[i>>]+(i&);
double ans=;
FOR(i,,(<<n)-){
if(-p[((<<n)-)^i]<1e-) return puts("INF"),;
ans+=/(-p[((<<n)-)^i])*(cnt[i]&?:-);
}
printf("%.10lf\n",ans);
}
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