置换群 Burnside引理 Pólya定理(Polya)

置换群

设\(N\)表示组合方案集合。如用两种颜色染四个格子，则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\)，\(|N|=2^4\)。
对于\(N\)上的所有置换，它们组成的群称为置换群，记为\(G\)。\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中。

Burnside引理

又称轨道计数定理、Burnside计数定理、Cauchy-Frobenius定理、Pólya-Burnside引理。
定理描述为：\(等价类数量=\frac{\sum c_1(g_i)}{|G|}\)。其中\(c_1()\)即不动点数。

正方形顶点二着色

用两种颜色染正方形的四个顶点，求等价类数量。

共有四种置换，分别为转0°、90°、180°、270°。其不动点数为16、2、4、2，因此答案为6。

圆排列

将n个不同东西放在环上，求等价类数量。

共有n种置换，\(g_i\)是转了i/n圈的置换。
\(|N|=n!\)。由于\(c_1(g_n)=n!\)，而\(c_1(g_i)=0(i<n)\)，答案为\(\frac{n!}{n}=(n-1)!\)。

n截棍染色

一根棍子分成\(n(2|n)\)截，用m种颜色染色，相邻两截不能染同色，求等价类数量。

先求\(N\)。同bzoj1008，\(|N|=m(m-1)^{n-1}\)。
有不变和翻转两种置换。答案为\(\frac{1}{2}m(m-1)^{n-1}\)。

Pólya定理

颜色很多的时候，Burnside引理就十分麻烦。因此有Pólya定理。
定理描述为：设\(H\)是对原来所有被染色对象的置换群，而不是对\(N\)的置换群。设颜色有m种，则染色方案数为\(\frac{m^{c(h_i)}}{|H|}\)。其中c()为循环节数。

正方形顶点二着色

四种循环分别为\((1)(2)(3)(4)，(1,4,3,2)，(1,3)(2,4)，(1,2,3,4)\)，因此答案为\((2^4+2^1+2^2+2^1)\div4=6\)。

Pólya定理与生成函数

bzoj没一道题……
那就不讲了